Muestran que

Question

Deje $W$ ser un espacio vectorial y deje $U$ $V$ ser finito dimensionales subespacios. No está seguro de cómo ir sobre la solución de este.

Answer 1

Tomar una base $(v_1,...,v_m)$$U \cap V $. Esta base es linealmente independientes en ambos $U$ $V$ para ampliar esta base, una base de $U$: $ (v_1,...,v_m,w_1,....,w_j)$ y a base de $V$: $(v_1,...,v_m,u_1,...,u_k)$. Aviso $\dim (U \cap V) =m$, $\dim U = m + j $ y $\dim V = m + k $. Queremos $U + V $ a tiene dimensión $m + j + k $. Así que nuestro objetivo es comprobar que el $(v_1,...,v_m,w_1,....,w_j,u_1,....,u_k)$ es una base para $U + V $ Nos muestran esta lista es independiente. Supongamos que

$$ \sum \alpha_iv_i + \sum \beta_i w_i + \sum \gamma_i u_i = \Theta $$

donde $\alpha_i, \beta_i, \; \; and \; \; \gamma_i \in \mathbb{F} $

Reescribir la ecuación anterior de la siguiente manera:

$$ \sum\gamma_i u_i = - \sum \alpha_iv_i - \sum \beta_i w_i $$

$$ \therefore \sum\gamma_i u_i \in U $$ since in the right hand side we have a combination of the basis elements of $U$. But we know that $u$ are in $V$. Therefore $\sum\gamma_i u_i$ must belong to $U \cap V $. But, we know $(v_r)_{i=1}^{m}$ is basis for the intersection, there take $\lambda_i \in \mathbb{F}$ tal que

$$ \sum^k\gamma_i u_i = \sum^m \lambda_i v_i \iff \sum^k\gamma_i u_i - \sum^m \lambda_i v_i = \Theta$$

Pero sabemos lista de las $u's$ e las $v's$ es linealmente independiente. Por lo tanto, $\gamma_i = \lambda_i = 0 $. Por lo tanto, nuestra ecuación original se convierte en

$$ \sum \alpha_iv_i + \sum \beta_i w_i = \Theta $$

Pero, de nuevo lista $v's$ $w's$ son linealmente independientes, y por lo tanto, $\alpha_i = \beta_i = 0$

Por lo tanto, por definición, la lista de $(v_1,...,v_m,w_1,....,w_j,u_1,....,u_k)$ es linealmente independiente.

Todos tenemos que comprobar es que ahora, $(v_1,...,v_m,w_1,....,w_j,u_1,....,u_k)$ abarca $U + V $. Voy a dejar a esta parte.

El problema está resuelto.

Answer 2

Sugerencia de Elegir una base $B$$U \cap V$. Ampliar a bases de $B_U, B_V$$U$$V$. Demostrar que $B_U \cup B_V$ es una base para $U+V$.