Libros de texto para estudiar la hipótesis de Riemann

Question

Soy licenciado en física y hace poco aprendí la hipótesis de Riemann en un curso de física matemática. ( Sabía lo que es la hipótesis pero no conocía el enunciado matemático)

Me interesó y quiero estudiar más sobre la función zeta de Riemann y la hipótesis de Riemann. No me atrevo a resolverlo, sólo quiero probarlo.

He aprendido el análisis complejo básico, y el cálculo, el álgebra lineal (aunque parece que no está relacionado con esto), pero no la teoría de números. Hace poco tomé prestado un libro llamado "La música de los primos", pero me pareció demasiado prolijo a pesar de que el escritor era un matemático. (Lo sé, el libro era para los profanos)

Quiero un enfoque matemático, pero sé que no tengo capacidad para leer documentos profesionales ni nada por el estilo, por lo que me gustaría empezar con la rama de las matemáticas adecuada como requisito previo.

¿Puede sugerir qué rama matemática está relacionada con la hipótesis de Riemann? Y si puede sugerirme libros de texto adecuados que pueda estudiar por mí mismo, se lo agradecería.

Answer 1

La mayoría de los libros sobre teoría analítica de los números mencionan la función zeta de Riemann de un modo u otro. De hecho, hay un buen libro de Dover (por lo que es bastante barato) llamado Riemann's Zeta Function de Edwards: https://www.amazon.com/Riemanns-Zeta-Function-Harold-Edwards/dp/0486417409 -- de todos modos, es un punto de partida. Pasa por los fundamentos, y más allá, y sólo presupone algún conocimiento del análisis complejo de una variable.

Answer 2

Reconozco que esta pregunta es lo suficientemente antigua como para que el OP haya encontrado presumiblemente el libro que buscaba, pero en caso de que sea útil para otros sólo quería señalar que Barry Mazur y William Stein han publicado recientemente un excelente libro ( Los números primos y la hipótesis de Riemann ) que pretende explicar el enunciado y el significado de la Hipótesis de Riemann a lectores con una formación mínima. La mayor parte del libro supone sólo un conocimiento básico de cálculo, mientras que el final supone un poco de análisis complejo.

El pasado mes de enero fui tutor de un curso de lectura en el que un alumno que acababa de terminar Calc 2 trabajó con el libro. (Mencioné brevemente la hipótesis de Riemann durante nuestra discusión sobre las series p y elaboré su producto de Euler para ilustrar la conexión con los primos). Hubo algunos puntos que tuve que explicarle, pero en general mi impresión fue que disfrutó bastante del libro y que realmente le ayudó a apreciar la importancia del problema. También debo señalar que el libro es bastante barato (unos 20 dólares).

Answer 3

En caso de que no lo sepas, aquí está el Declaración original de RH por el propio Riemann .

Basándome en tu formación matemática (análisis complejo básico, cálculo, álgebra lineal, pero no teoría de números) y en mi propia experiencia, te recomendaría los siguientes 2 artículos de revisión:

(1) "Zeros of entire Fourier transforms" de Dimitrov y Rusev, Este. J. On Approximations, vol. 17, nº 1 (2011): pp 1-108.

(2) P. M. Hallum, "Zeros of Entire Functions Represented by Fourier Transforms", Master Thesis,University of Hawaii at Manoa (2014).

Las razones por las que hice esta recomendación son las siguientes:

También tengo formación en física y me interesa estudiar la Hipótesis de Riemann.

Para algunos libros que encontré, descubrí que contienen demasiadas matemáticas avanzadas (como la teoría analítica de números) con las que estoy familiarizado, por ejemplo, (3) "The Theory of the Riemann Zeta-Function" de Titchmarsh, (4) "Riemann Zeta Function" de Edwards y (5) "Introduction to Analytic Number Theory" de Apostol etc.

En el caso de otros libros que encontré, descubrí que contienen muy poca matemática de la que deseo ver, por ejemplo,(6) "Prime Numbers and the Riemann Hypothesis" de Mazur y Stein, (7) "The music of primes" de Marcus du Sautoy.

Pero para leer la ref.(1) y la ref.(2) no es necesario tener conocimientos avanzados de teoría analítica de números. Sólo necesitas estar familiarizado con la transformada de Fourier cuando empieces a leer la ref.(1) y la ref.(2). Así que estos dos artículos se ajustan a mis necesidades y (espero) que también se ajusten a las tuyas.

Luego puedes aprender otros temas matemáticos necesarios sobre la marcha en libros de matemáticas o en wikipedia.org (como hice yo).