Manera sistemática de encontrar los polinomios mínimos a través de una torre de extensiones simples.

Question

Permita que$L/K$ sea una extensión de campo. Deje$\alpha\in L$ ser algebraico sobre$K$, con un polinomio mínimo$P(X)$ sobre$K$. Ahora bien, si$\beta$ es algebraico sobre$K(\alpha)$ con polinomio mínimo$Q(X)$, entonces también debe ser algebraico sobre$K$ ya que$K(\alpha, \beta)/K(\alpha)/K$ es una torre de extensiones finitas.

¿Hay una manera sistemática de encontrar el polinomio mínimo de$\beta$ sobre$K$ usando$P(X)$ an$Q(X)$?

Answer 1

Estoy seguro de que debe haber una mejor forma, pero una forma fácil de encontrar es:

Cualquier expresión polinómica en $\alpha,\beta$ puede ser ampliado en una suma de términos de la forma$c \alpha^i \beta^j$,$c \in L$. A continuación, podemos utilizar las expresiones polinómicas $\alpha^n + a_1 \alpha^{n - 1} + \dots + a_n = 0 \Rightarrow \alpha^n = -a_1 \alpha^{n - 1} - \dots - a_n$ a volver a escribir en un formulario con $i < \deg(P)$$j < \deg(Q)$. Con esto, podemos expandir $1,\beta,\beta^2,\dots$ en las combinaciones lineales de elementos de nuestro conjunto finito de $\alpha^i \beta^j$, y así, después de un cierto número de iteraciones (< gr(P), gr(Q)), deben ser linealmente dependientes. Estándar de álgebra lineal puede entonces ser usado para encontrar los coeficientes, produciendo un polinomio sobre $L$, lo que ha $\beta$ cero.