Qué es el espacio tangente para el punto de intersección de variedades irreducibles.

Question

Dada una (real) plano, sé que la definición de espacio de la tangente para irreductible varieities. (Si $P \in V(f_1, \cdots, f_n)$ irreductible, a continuación,$T_P V = V(f^{(1)}_{1,P},\cdots, f^{(1)}_{n,P})$.

Supongamos $V=V_1\cup V_2$ es una irreductible de descomposición. Luego por la adopción de la irreductible de los componentes, se puede definir la tangente espacios para los puntos que no están en la intersección. Pero si $P \in V_1 \cap V_2$, ¿cuál es la definición?

Para un fácil ejemplos, vamos a $V(xy)=V(x) \cup V(y)$. Si seguimos la definición en el párrafo anterior, entonces la tangente espacios para$(0,t) \ (t\neq 0)$$V(x)$, lo mismo para el eje x da $V(y)$. ¿Cuál es el origen?

Debe ser todo el avión como me tomo un vistazo a algunos libros. Pero no sé por qué. Falso intento: $O \in V(x,y)$, de modo que el espacio de la tangente es sólo $V(x,y)=O$, un punto. ¿Cuál es el problema?

Answer 1

Para responder a su pregunta directamente, la definición no le importa que punto podemos elegir en $V.$ Esencialmente, estamos a sólo el cómputo de la expansiones de Taylor de la definición de las ecuaciones en cualquier punto que nos gusta, y utilizando el título de una parte para definir el espacio de la tangente.

Por su definición, el espacio de la tangente de $V(xy)$ es generado por el diferencial de $dF$$F(x,y)=xy$, en el origen. Calculamos el $dF = \frac{\partial F}{\partial x}(0,0)x+\frac{\partial F}{\partial y}(0,0)y=y|_{(0,0)}x+x|_{(0,0)}y=0,$ lo cual no es sorprendente, ya que $F$ es una forma de grado dos. Por lo tanto, el espacio de la tangente de $V(xy)$ $\Bbb A^2$ tiene la definición de la ecuación de $0,$ es decir, el conjunto de la $\Bbb A^2$ es tangente a $V(xy)$, en el origen.

Alternativamente, se puede proceder a calcular el Zariski el espacio de la tangente.

El Zariski la cotangente del espacio a $V(xy)$ $(0,0)$ se define a ser $\mathfrak m/\mathfrak m^2,$ donde $\mathfrak m$ es el máximo ideal del anillo local $\mathcal O_{V(xy),(0,0)}.$ Hemos

$$\mathcal O_{V(xy),(0,0)}=\left(\dfrac{k[x,y]}{(xy)}\right)_{(x,y)}=\dfrac{k[x,y]_{(x,y)}}{(xy)k[x,y]_{(x,y)}},$$ así

$$ \mathfrak m= (x,y)\left(\dfrac{k[x,y]}{(xy)}\right)_{(x,y)}=\dfrac{(x,y)k[x,y]_{(x,y)}}{(xy)k[x,y]_{(x,y)}},$$

por el hecho de que la localización de los viajes con la toma de cocientes. Así que la cotangente del espacio en el origen está dado por $$\mathfrak m/\mathfrak m^2=\dfrac{(x,y)k[x,y]_{(x,y)}}{(xy)k[x,y]_{(x,y)}}/\left(\dfrac{(x,y)k[x,y]_{(x,y)}}{(xy)k[x,y]_{(x,y)}}\right)^2=\dfrac{(x,y)k[x,y]_{(x,y)}}{(xy)k[x,y]_{(x,y)}}/\dfrac{(x,y)^2k[x,y]_{(x,y)}}{(xy)k[x,y]_{(x,y)}}=\dfrac{(x,y)k[x,y]_{(x,y)}}{(x,y)^2k[x,y]_{(x,y)}}$$ donde la última igualdad es por el segundo teorema de isomorfismo. De nuevo, el uso de la conmutatividad de la localización y coeficientes obtenemos

$$\mathfrak m/\mathfrak m^2=\left((x,y)/(x,y)^2\right)_{(x,y)}= kx\oplus ky\cong k^2.$$ Taking the dual gives us also that $T_{(0,0)}V(xy)\cong k^2.$

Tenga en cuenta que en la primera definición, $T_{(0,0)}V\subseteq\Bbb A^2,$, mientras que en el segundo la definición es intrínseca, no en función de la elección particular de la incrustación.