¿Cómo simplificar el $-\sqrt {\frac{{2 - \sqrt 2 }}{{2 + \sqrt 2 }}} $ $1 - \sqrt 2 $?

Question

Tengo la respuesta para una pregunta en mi libro de texto que: $-\sqrt {\frac{{2 - \sqrt 2 }}{{2 + \sqrt 2 }}} $ que luego he simplificado para: $-\sqrt {3 - 2\sqrt 2 } $

Sin embargo mi libro Estados $-\sqrt {\frac{{2 - \sqrt 2 }}{{2 + \sqrt 2 }}} = 1 - \sqrt 2 $

¿Cómo es esto?

Answer 1

$$\frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}=\frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}\frac{2-\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}=\frac{\left(2-\sqrt{2}\right)^{2}}{2}$$

así $$\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}}=\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$ $

Answer 2

Usted puede comprobar que ambas respuestas son correcta cuadratura $\pm(1-\sqrt{2})$ y observando que tiene $3-2\sqrt{2}$. Una manera de simplificar la respuesta tienes es suponer que puede ser escrito como $a+b\sqrt{2}$ y entonces igualar coeficientes en $3-2\sqrt{2} = (a+b\sqrt{2})^2$ resolver $a$ y $b$.

Answer 3

Por otra parte, podemos decir $x = -\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}}$. Podemos decir que $x^2 = -\frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} \implies -(2+\sqrt{2})x^2 + (-2 + \sqrt{2}) = 0$. Ahora podemos aplicar la fórmula cuadrática y descartar la raíz negativa para obtener que $x = -\frac{2\sqrt{2}}{4+2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} = -\frac{2}{2+2\sqrt{2}} = -\frac{1}{1+\sqrt{2}} = 1-\sqrt{2}.$