Cuál es la forma más rápida para encontrar la gama de funciones con módulo: $f(x) = |x+3| - |x+1| - |x-1| + |x-3|$

Question

Resolver problemas que vi una pregunta en que iba a encontrar el rango de una función de $$f(x) = |x+3| - |x+1| - |x-1| + |x-3|$$ I know the way in which I can take different cases of $x $ larger than $3 $ and then $x $ between $3 $ and $1$ y así sucesivamente. Pero se torna un poco larga ya que hay 5 casos y las oposiciones que me estoy preparando mi cerebro para me quiere resolver una pregunta en promedio 1,5 minutos. Quiero saber si existe una manera más rápida para encontrar su gama.

Answer 1

Vamos a echar un vistazo a las dos partes de su función. ¿Qué es $|x-3|-|x-1|$? Esta es la distancia de a $x$ $3$ menos de la distancia de $x$$1$. Podemos decir lo que esta función se parece? Si $x$ está a la derecha del intervalo de $[1,3]$, entonces la diferencia es obviamente $-2$. Si $x$ es de la izquierda, a continuación, la diferencia es claramente $2$. En el intervalo de $[1,3]$ esta función cambia de forma lineal entre los dos valores.

El siguiente gráfico tomado de WolframAlpha, pero si han visto unas cuantas de esas funciones y mantener la interpretación anterior (valor absoluto como la distancia) en mente, usted debería ser capaz de dibujar el gráfico fácilmente con la mano.

De la misma manera podemos trazar $|x+3|-|x+1|$ que tiene un aspecto bastante similar. Y usted desea agregar estas dos funciones juntas. Usted puede simplemente trama tanto de ellos en el mismo gráfico.

• Se puede ver que para $x<-3$$x>3$, uno de los valores es $2$, y el otro es $-2$. Por lo que la suma será igual a cero.
• En el intervalo de $(-1,1)$ ambas funciones tienen el valor de $2$, por lo que su suma es $4$.
• En los dos intervalos de entre medio de las funciones de los cambios de forma lineal, ya que se trata de una suma de dos funciones lineales.

Aquí está una parcela de WolframAlpha. Pero de nuevo, usted debe ser capaz de dibujar la gráfica de esta función con la mano.

Answer 2

% Que $g(x) = |x+3| + |x-3|$y $h(x) = |x+1| + |x-1|.$ entonces\begin{align} g(x) &= \begin{cases} 2|x| & \text{if %#%#%} \ 6 & \text{if %#%#%} \end{casos} \ h (x) y =\begin{cases} 2|x| & \text{if %#%#%} \ 2 & \text{if %#%#%} \end{casos} \ f (x) y = g (x) - h (x) \end{align} entonces debe ser fácil de ver que $|x| \geq 3$ cuando $|x|

Answer 3

En este ejemplo particular, un atajo que podría utilizar es Observe que la función es incluso, para reducir el trabajo que sólo tendría que considerar el conjunto de $x\geq0$ para establecer el rango para la función entero.