Estoy interesado en el razonamiento.
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En general, cuando $f$ y $g$ difieren en (máximo) una cantidad finita de puntos (en el intervalo $[a,b]$), siempre tenemos $$ \int _a ^ bf (x) \,dx=\int_a^b g (x) \,dx $$ esto sigue de la definición mediante sumas (infima y suprema de) una división de la intervalo de $[a,b]$ en intervalos más pequeños y el hecho de que podemos hacer arbitrariamente pequeños intervalos en los puntos donde las funciones son diferentes.
jmans
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Vladimir
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Andrew Thompson
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Dada la forma de hacer su pregunta, supongo que usted no está familiarizado con la definición de la Integral de Riemann. Vamos a la parte superior de Riemann-suma $U$ de una función de $f$ en una partición $P = \{x_0, x_1, x_2 \cdots x_n\}$ se define como $$\sum_{i = 1}^n \Delta x_i\cdot I^*$$ where $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$ and $I^*$ is the greatest value of $f$ on $[x_{i-1}, x_i]$. The lower Riemann-sum $L(f, P)$ se define de la manera obvia.
Definición 1: Una función es Riemann Integrable si existe una partición de $P$, de modo que para cada $\epsilon > 0$ tenemos que $U(f, P) - L(f, P) < \epsilon$
Considerar esta ligeramente editado función proporcionada por Daniel Fischer como un comentario a tu pregunta: $$f(x) = \begin{cases} -1 &,-1 \le x < 0 \\ 0 &, x = 0\\ 1 &,1 \ge x > 0 \end{cases}$$
Deje $P = \{-1, 0-\epsilon, 0+\epsilon, 1\}$. Tenemos $U(f,P) = (-1) \cdot(1-\epsilon) + 1\cdot2\epsilon + 1\cdot (1-\epsilon) = -1 + \epsilon + 2\epsilon + 1 - \epsilon = 2\epsilon$$L(f,P) = (-1) \cdot (1-\epsilon) + (-1)\cdot 2\epsilon + 1\cdot(1-\epsilon) = -1 + \epsilon - 2\epsilon + 1 - \epsilon = -2\epsilon$. Así que tenemos que $U(f,P) - L(f,P) = 4\epsilon$. La función es todavía integrable, a pesar de que nuestro valor es mayor que $\epsilon$. Se puede saber por qué? Se puede ver cómo puede configurar los valores de la partición, de modo que el resultado es más bonito?
