Dejemos que $X$ sea un espacio topológico.
Llame a $x,y\in X$ intercambiable si existe un homeomorfismo $\phi\colon X\to X$ con $\phi(x)=y$ . Esto define una relación de equivalencia en $X$ .
Se podría llamar $X$ homogéneo si todos los pares de puntos en $X$ son intercambiables.
Entonces, por ejemplo, los grupos topológicos son homogéneos, así como los espacios discretos. También cualquier bola abierta en $\mathbb R^n$ es homogénea. Por otro lado, creo que la bola cerrada en cualquier dimensión no es homogénea.
Supongo que estas nociones ya han sido definidas en otro lugar. ¿Podría indicarme cuál es?
¿Hay alguna propiedad interesante que siga para $X$ de la homogeneidad? Creo que para estos espacios el grupo de homeomorfismos de $X$ contendrá mucha información sobre $X$ .
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Las variedades conectadas también son homogéneas.
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@Ryan: Vaya, ¿en serio? Entonces son extremadamente "flexibles".
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Sí, el argumento es bastante divertido. Le sugiero que lo intente. Deje que $M$ sea una variedad conectada, y fije $p \in M$ . Considere el conjunto $U = \{ x \in M : f(p)=x, f \text{ a homeomorphism of } M \}$ . Comprueba que $U$ es no vacío, abierto y cerrado.
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Puede ampliar su pregunta. Tu noción de homogéneo es que dos puntos cualesquiera pueden ser intercambiados por un homeomorfismo, que también podrías llamar una "acción 1-transitiva" del grupo de homeomorfismo. Podrías preguntar además si cualquier colección de $n$ puntos en $X$ puede trasladarse a cualquier otra colección de $n$ puntos en $X$ por un homeomorfismo. Esto sería un $n$ -Acción transitiva. Las variedades conectadas de dimensión $k \geq 2$ también satisfacen este $n$ -condición de transitividad- no se puede hacer por $1$ -porque los puntos de un $1$ -heredan un ordenamiento (cíclico) del espacio ambiente.
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La homogeneidad es una noción completamente estándar, y se han escrito muchos artículos sobre ella. También hay nociones como homogéneo local, fuertemente homogéneo local, homogéneo denso contable, etc. De hecho, todas las bolas cerradas de dimensión finita no son homogéneas, ya que sólo podemos mapear puntos de la frontera a otros puntos de ese tipo, y lo mismo para los puntos interiores (2 clases, en su terminología). Creo que algunos autores llaman a sus clases componentes de homogeneidad.
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@RyanBudney Perdón por esta pregunta tan básica, pero estaba tratando de probar que cualquier balón abierto en $R^n $ es homogéneo, y he encontrado este post, pero no puedo demostrarlo ni siquiera usando tu argumento, para usar tu argumento, por ejemplo para demostrar que es abierto, probablemente use la "bola euclidiana" pero aquí tengo que usar lo que quiero demostrar , y no solo eso, también que puedo extender ese homeomorfismo a todo el colector y no solo en esa "bola euclidiana" espero que entiendas lo que he intentado decir
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@Agosto: Puedes utilizar que cualquier balón abierto en $\mathbb R^n$ es homeomorfo a $\mathbb R^n$ .
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@Rasmus Gracias Rasmus
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Hay un capítulo sobre espacios homogéneos en Enciclopedia de Topología General . Supongo que allí podrá encontrar información básica y también algunas referencias adicionales.