¿Cómo mostrar el espacio de la curva cerrada es múltiple de Hilbert?

Question

En la imagen de abajo ,$(M,g)$ es un colector de Riemann.

Por qué $\mathcal L_M$ es una de Hilbert submanifold de $L^{1,2}(S^1,R^r)$ ?

Además, ¿qué es el interior y el nombre de $L^{1,2}(S^1,R^r)$ ?

La siguiente imagen es de la página 3 de Kwangho Choi y Thomas H. Parker Convergencia del flujo de calor por cerrado geodesics.

Answer 1

El hecho de que usted obtenga un colector de Hilbert no es trivial y supone una técnica de trabajo, pero la intuición básica es que un cuadro alrededor de un suave mapa de $u \colon S^1 \rightarrow M$ debe ser modelado en un abrir barrio de el vector cero de campo en el interior del espacio de Hilbert $\Gamma^{1,2}(u^{*}(TM))$ de los campos vectoriales de regularidad $W^{1,2}$ a lo largo de $u$. El gráfico de mapa a continuación se da por

$$ X \mapsto \{ \theta \mapsto \exp_{u(\theta)}(X(\theta))\} $$

donde $\exp$ es el mapa exponencial inducida por la métrica de Riemann $g$. El tamaño del conjunto abierto en el que el gráfico está definido es determinado por un límite inferior en el radio de inyectividad en $u(S^1)$ (que es compacto) con el fin de garantizar que el mapa es uno-a-uno.

Existen diversas técnicas de temas que se deben resolver de una manera o de otra:

1. Debemos comprobar que los gráficos son de hecho homeomorphisms en su imagen. Esto implica la comprensión de la continuidad de las soluciones de una edo (aquí, la determinación de la geodesics) con respecto a un pequeño cambio de los coeficientes con respecto a la $W^{1,2}$ métrica.
2. Debemos comprobar que el resultado de mapas de transición (entre abrir los subconjuntos de espacios de Hilbert) son lisas.
3. Uno debe entender lo que sucede cuando $u$ no es necesariamente suave. Esto implica argumentando que las cartas encima de la cubierta también, todos los no-curvas suaves o la generalización de su marco para el de arriba para hacer sentido, incluso si $u$ no es necesario suave.

Para más detalles, usted debe consultar cualquier libro o artículo en "análisis global" que analiza con rigor la construcción de un buen colector de estructura en un espacio de mapas entre los colectores.