¿Qué falla en este caso CLT?

Question

Tenemos mutuamente independientes variables aleatorias $X_n$$P(X_n = 2^n) = P(X_n = -2^n) = \frac12$.

Por supuesto, sus medios de $\mu_n = 0$ y las varianzas de las $\sigma_n^2 = 4^k$. Deje $S_n = \sum_1^n X_k$. Claramente la media de $m_n=E(S_n) = 0$ y la varianza $s_n^2 = E(S_n^2)= \sum_1^n \sigma_k^2 = \frac13(4^{n+1}-1)$.

Me han demostrado que en este caso la ley de los grandes números no se aplica, y la necesidad de mostrar que CLT/no se aplican.

El único método que conozco para mostrar que la CT no aplicar sería de Lindeberg del teorema, que he tratado de aplicar, pero me parece que no puede conseguir en cualquier lugar. Desde $\max_k \sigma_k^2/s_n^2$ no llega a cero, se puede utilizar Lindeberg del teorema para demostrar que la CT no es aplicable, así que estoy perdido sobre cómo proceder.

¿Cómo podría yo proceeed de otra manera?

Answer 1

Existe, de hecho, la convergencia en distribución, pero no a una distribución normal:

• La secuencia de $(2^{-n-1}S_n)_{n\geqslant1}$ converge en distribución a una distribución uniforme en $(-1,1)$.

Una manera constructiva, para mostrar que este es el inicio de $U$ uniforme en $(-1,1)$ y para definir de forma inductiva $(V_n)_{n\geqslant1}$ $(Y_n)_{n\geqslant1}$ como sigue:

• $V_1=U$, $Y_n=\mathrm{sgn}(V_n)$, $V_{n+1}=2V_n-Y_n$.

A continuación, todos los $V_n$ es uniforme en $(-1,1)$, $U=\sum\limits_{n\geqslant1}2^{-n}Y_n$ y $(Y_n)_{n\geqslant1}$ es un yo.yo.d. secuencia simétrica $\pm1$ variables aleatorias de Bernoulli. Esto demuestra que $2^{-n-1}S_n$ se distribuye de la $U_n=\sum\limits_{k=1}^n2^{-k}Y_k$. Desde $U_n\to U$ casi seguramente, $2^{-n-1}S_n\to U$ en distribución.

Edit: Una (algo menos intuitiva pero tal vez) de la manera más directa para llegar a la conclusión de que es para el cálculo de la función característica $\varphi_n$$2^{-n-1}S_n$, es decir, $$ \varphi_n(t)=\mathbb E(\exp(\mathrm it2^{n-1}S_n))=\prod_{k=1}^n\cos(2^{-k}t)=\frac{\sen t}{2^n\sin(2^{-n}t)}. $$ Uno ve que $\varphi_n\to\psi$ pointwise, donde $\psi(t)=(\sin t)/t=\mathbb E(\exp(\mathrm itU))$ es de hecho la función característica de a $U$. Por lo tanto, $2^{-n-1}S_n\to U$ en distribución.