¿Podemos tener categorías como $\mathbf{TopGrp}$ como una especie de retroceso?

Question

Podemos interpretar una teoría ecuacional, como la teoría de grupos, en una categoría como $\mathbf{Top}.$ En este caso, obtenemos $\mathbf{TopGrp},$ la categoría de grupos topológicos.

Mi pregunta es, ¿podemos obtener alternativamente categorías como $\mathbf{TopGrp}$ como una especie de retroceso?

Considere el esquema $J$ que consta de dos objetos $X$ y $Y,$ cada uno de los cuales tiene una flecha que va a un tercer objeto $Z$ . Ahora considere el $J$ -diagrama de forma $D$ en la categoría $\mathbf{Cat}$ tal que $$D(X) = \mathbf{Top}, \; D(Y) = \mathbf{Grp}, \; D(Z) = \mathbf{Set}$$

donde las flechas de no-identidad de $J$ son mapeados a los funtores de olvido.

Probablemente sea una pregunta tonta, pero ¿el retroceso (en algún sentido adecuado) del diagrama anterior $\mathbf{TopGrp}$ ?

Parece que es demasiado esperar, ya que no hemos aplicado ningún requisito de compatibilidad entre la estructura de grupo y la estructura topológica.

Answer 1

Como dices, esto no puede funcionar del todo ya que necesitas que las estructuras interactúen. Los retrocesos en Cat simplemente no lo hacen. Sin embargo, hay una maquinaria que sí lo hace, así que aunque no responda del todo a tu pregunta, espero que encuentres lo siguiente de interés.

Entonces, supongamos que usted tiene dos teorías $T_1,T_2$ (que puedes considerar como teorías ecuacionales o teorías de Lawvere, para la discusión no importa realmente). Supongamos que los modelos de cada teoría tienen conjuntos subyacentes. Lo que se quiere es tensorizar las dos teorías en una nueva teoría $T$ cuyos modelos serán "las cosas compatibles que son a la vez $T_1$ cosas y $T_2$ cosas", sea lo que sea que eso signifique. Por supuesto, la forma en que solemos hacerlo es inspeccionando los axiomas de cada teoría, adivinando cuál sería la condición de compatibilidad correcta, analizando algunos casos para ver si nos equivocamos o no, iterando y llegando al concepto "correcto". Sin embargo, estaría bien tener un enfoque más sistemático, lo que creo que (al menos en parte) motivó tu pregunta.

Hay varios contextos (diferentes) en los que se puede hacer esto. Describiré brevemente uno de ellos que utiliza operadas. Una operada (me refiero a una operada simétrica coloreada, también conocida como multicategoría simétrica) es muy parecida a una categoría, sólo que las flechas pueden tener como entrada cualquier tupla finita arbitraria de objetos (incluyendo $0$ -), en lugar de sólo $1$ -Partículas de objetos como en una categoría. Si ahora contemplas cómo deben ser las composiciones y qué reglas deben obedecer llegarás a la definición de operada no simétrica. Si además incluyes la posibilidad de permutar las entradas de las flechas llegarás al concepto de operada simétrica.

En pocas palabras, las operadas son a las categorías lo que el cálculo en varias variables es al cálculo de una sola variable. La teoría es básicamente la misma, pero se descubre que algunas cosas son especiales para la situación de una sola variable. Dicho esto, los funtores, las equivalencias, los isomorfismos, etc. tienen inmediatamente sentido para las operadas. Las adjunciones (tristemente, tan tristemente) no tienen sentido inmediato para las operadas. Además, el punto de vista de las cosas te da montones y montones de ejemplos de mónadas. Cualquier categoría monoidal (por ejemplo, Set, Cat, Top, Ab) puede ser considerada como una operada (al igual que las funciones multivariables en el análisis pueden ser consideradas como funciones de una sola variable de $\mathbb R^n$ a $\mathbb R$ ). Además, cualquier categoría puede ser considerada como una operada, simplemente una donde todas las flechas tienen tuplas de longitud $1$ como entrada.

Así, la categoría $Ope$ o las operadas se extienden $Cat$ la categoría de las categorías. De hecho, cada una de ellas es una operada, y además, cada una es una 2-operada. Ahora bien, el poder expresivo de las operadas es mucho mayor que el de las categorías. Resulta que las transformaciones naturales se trasladan directamente a las operadas. Por lo tanto, $Ope$ tiene una construcción de operada de funtor: $[P,Q]$ para dos operadas cualesquiera. Esto extiende la construcción de la categoría de funtores $[C,D]$ para dos categorías cualesquiera.

Ejercicio: Encontrar una operada $P$ tal que $[P, Set]$ es la operada de los monoides. Demuestre que $[P, Top]$ es la operada de los monoides topológicos. (Esta es la conexión con las teorías $T_1$ y $T_2$ desde arriba. Algunas operadas pueden ser consideradas como teorías).

El hecho de tener la construcción de estas operadas de funtores plantea la cuestión de si es realmente un hom interno para algún producto tensorial. La respuesta es que es una hom interna para el producto tensorial de Boardman-Vogt. Y aquí tenemos una conexión con la teoría $T$ arriba. El producto tensorial Boardman-Vogt $P\otimes Q$ de dos operadas tiene precisamente la propiedad de que $[P\otimes Q, R]$ es isomorfo a $[P,[Q,R]]$ y también a $[Q,[P,R]]$ . Contemplando lo que esto significa se ve que significa que $P\otimes Q$ es como una "teoría" para $P$ estructuras en $Q$ estructuras, con una condición de compatibilidad. Lo bueno es que se trata de una definición sistemática y no ad hoc. Así que no hay que adivinar cuál es la condición de compatibilidad, sino que viene dada por la definición del tensor.

Ejercicio final. Considere de nuevo la operada $P$ del ejercicio anterior. ¿Qué debería $[P,[P,Set]]$ ¿ser? Desde $[P, Set]\cong Mon$ Es sólo que $[P,Mon]$ , por lo que debería ser monoides en monoides. Es bien sabido (por el argumento de Eckman-Hilton) que éstos son sólo monoides conmutativos. Esto se puede ver en el nivel de las operadas: $[P,[P,Set]]\cong [P\otimes P, Set]$ por lo que hay que calcular $P\otimes P$ y demostrar que se obtiene una operada correspondiente a la teoría de los monoides conmutativos (es un ejercicio divertido).

Answer 2

Si intentas describir explícitamente el pullback de la inclusión acabarás con una categoría que tiene pares de objetos formados por grupos y espacios topológicos que tienen el mismo conjunto subyacente. De esta manera tienes un montón de objetos que no todos son grupos topológicos.

Por ejemplo, se puede considerar el par formado por $(\langle \mathbb Z/n \mathbb Z,+,0,-\rangle,\langle \mathbb Z/n \mathbb Z,\tau\rangle)$ donde $\tau$ es la topología $\{\{[0],\dots,[i]\}|i=0,\dots,n-1\}$ (los segmentos iniciales de $\mathbb Z/n \mathbb Z$ ).

No se trata de un grupo topológico, de lo contrario la operación de suma debería ser conmutativa y por tanto la operación $$+[1] \colon \mathbb Z/n \mathbb Z \to \mathbb Z/n \mathbb Z$$ debería ser un homeomorfismo lo cual no es el caso ya que transforma el conjunto abierto $\{[0]\}$ en $\{[1]\}$ que no pertenece a la topología.