Isomorfismo entre espacios de Hilbert

Question

Quiero demostrar que la función

$$L^2(\Omega,\mathcal{O})\longrightarrow L^2(\widetilde{\Omega},\mathcal{O}) \colon f \longmapsto f|_{\widetilde{\Omega}}$$

es un isomorfismo, donde $L^2(\mathbb{C},\mathcal{O})$ es el espacio de Hilbert de las funciones holomorfas cuadradas integrables en $\mathbb{C}$ y $\Omega \subset \mathbb{C}$ es un dominio acotado y para $E\subset \Omega$ finito definimos $\widetilde{\Omega}:=\Omega \setminus E$ .

Answer 1

Desde $E$ tiene medida de Lebesgue $0$ la restricción $\rho \colon L^2(\Omega,\mathcal{O}) \to L^2(\widetilde{\Omega},\mathcal{O})$ es una isometría. Queda por ver que es suryectiva, es decir, que para cada $f\in L^2(\widetilde{\Omega},\mathcal{O})$ cada punto $a\in E$ es una singularidad removible.

Desde $E$ es finito, existe un $R > 0$ tal que $D_{2R}(0) \subset \Omega$ y $\lvert a-b\rvert > R$ para todos $b \in E\setminus\{a\}$ . Para simplificar la notación, podemos suponer que $a = 0$ .

Por cada $0 < r < R$ consideremos el anillo $A_r = \{ z : r < \lvert z\rvert < R\}$ y la restricción $\rho_r \colon L^2(\widetilde{\Omega},\mathcal{O}) \to L^2(A_r,\mathcal{O})$ . Como restricción, $\rho_r$ es decreciente, es decir.

$$\lVert \rho_r(f)\rVert_{L^2(A_r)} \leqslant \lVert f\rVert_{L^2(\widetilde{\Omega})}$$

para todos $f\in L^2(\widetilde{\Omega},\mathcal{O})$ . En el anillo $A_r \subset \widetilde{\Omega}$ cada $f\in L^2(\widetilde{\Omega},\mathcal{O}) \subset \mathcal{O}(\widetilde{\Omega})$ tiene una expansión de Laurent

$$f(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty c_n z^n.$$

Mediante la elección de $R$ la serie de Laurent converge en un disco perforado $\{ 0 < \lvert z\rvert < R+\varepsilon\}$ por lo que converge uniformemente en $A_r$ . (Nota: bastaría con una convergencia localmente uniforme, pero la convergencia uniforme simplifica algunos pasos).

Ahora hay que comprobar que los monomios $(z^k)_{k\in\mathbb{Z}}$ son mutuamente ortogonales en $L^2(A_r,\mathcal{O})$ .

Entonces, vemos que

$$\lVert \rho_r(f)\rVert_{L^2(A_r)} = \int_{A_r} \lvert f(z)\rvert^2 \,d\lambda = \sum_{n=-\infty}^\infty \lvert c_n\rvert^2 \int_{A_r} \lvert z\rvert^{2n}\,d\lambda \leqslant \int_{\widetilde{\Omega}} \lvert f(z)\rvert^2\,d\lambda.$$

Dejar $r \to 0$ la única forma de que el lado izquierdo siga siendo finito es que $c_n = 0$ para todos $n < 0$ lo que significa que la singularidad de $f$ en $0$ es extraíble.

Eso es válido para cada singularidad $e\in E$ Por lo tanto $\rho$ es suryectiva.