Tan confundido, cómo resolver$(y')^2 - xy' + y = 0$

Question

No estoy muy seguro de cómo obtener una solución,

ps

Intenta resolver$$(y')^2 -xy' + y = 0$para obtener$y'$ y ahora no tiene solución. Amablemente ayuda, apreciado.

Answer 1

Si tomas la derivada de tu ecuación, obtienes:

ps

o

ps

Deje $$2y'y''-xy''-y'+y' = 0$ y tenga$$ y''(2y'-x)=0.$, de modo que$v=y'$y$v'(2v-x) = 0,$o$v'=0$.

Entonces$v=c$ y así$v=x/2$ o$y'=c$ y$y=cx+d$

Al tapar el primero en la ecuación original, se obtiene$y'=x/2$. Entonces, hay dos soluciones$y=x^2/4.$ para alguna constante$d=-c^2$ y$y=cx-c^2$. No sé si esto son todas las soluciones.

Answer 2

podemos reescribir la EDO como$$(y'-\frac{x}{2})^2=-(y-\frac{x^2}{4}) ahora dejar

$$u=(y-\frac{x^2}{4})$$$ $u'=(y'-\frac{x}{2})$ $so$$(u')^2=-u$ $$$2u'u''=-u'$$$ $2u''=-1$ $$$u=-\frac{1}{4}x^2+C_1x+C_2$ $, por lo que la solución será$$ -\frac{1}{4}x^2+C_1x+C_2=(y-\frac{x^2}{4}) $$y=C_1x+C_2\tag 1$ $ Al conectar el equ (1) en la ecuación original se obtiene$$ C_2=-C_1^2, por lo que la solución será$$y=C_1x-C_1^2