cobertura mapa $S^n \rightarrow P^n$ no es null homotópicas

Question

Aquí está el problema: demostrar que la cubierta proyección $S^n \rightarrow P^n$ no es null homotópicas. Este problema es de topología algebraica por Harper y Greenberg. Hay una sugerencia: el teorema de elevación proporciona una equivalencia set $[X, S^n] \rightarrow [X, P^n]$ % todo simplemente conectado $X$.

¿Cómo puedo demostrarlo? ¡Gracias por tu ayuda!

Answer 1

Supongamos que la cobertura de mapa de $\pi$ fueron nullhomotopic a través de un homotopy $h$. Considere el diagrama de $$\begin{matrix} S^n & \xrightarrow{\mathrm{id}} & S^n\\ i_0\downarrow & & \downarrow \pi\\ S^n\times [0,1]& \xrightarrow{h} & P^n \end{de la matriz}$$ que expresa el hecho de que el homotopy $h$ dispone de un ascensor en $t=0$. Estándar de hechos acerca de la cobertura de los espacios nos dicen que $h$ tiene un único ascensor $\tilde{h}:S^n\times[0,1]\to S^n$ tal que $h=\pi\circ\tilde{h}$. A continuación, $\tilde{h}_1:S^n\to S^n$ mapas de $S^n$ en la fibra más de un punto de $x$ $P^n$ desde $h_1=\pi\circ\tilde{h}_1$ es constante (igual a $x$). Desde $S^n$ está conectado y la fibra a $x$ es un dos puntos de set $\lbrace v,-v\rbrace$ (para algunos $v\in S^n$) $\tilde{h}_1$ debe ser constante.

Por lo tanto $\iota=\mathrm{id}_{S^n}$ es homotópica a una constante mapa de $S^n\to\mathrm{pt}\to S^n$ (igual a $\pm v$). Esto plantea un problema al pasar a la (reducida) de homología (por simplicidad), ya que debemos tener ese $\iota_*=\mathrm{id}_{\tilde{H}_*(S^n)}=0$, ya que los factores a través de la reducción de la homología de un punto (que es $0$) contradiciendo el hecho de que $\tilde{H}_*(S^n)\simeq\Bbb Z[n]$ (un infinito cíclico grupo se concentró en el grado $n$).

Answer 2

He aceptado una respuesta, es probablemente aceptable para publicar una respuesta que utiliza una prueba estilo mazo.

La cubierta proyección $p\colon S^n\to P^n$ es una fibración de homotopía de fibra equivalente a $\mathbb{Z}_2$, y en particular hay un tiempo exacto de la secuencia $$\cdots\to\pi_n(\mathbb{Z}_2)\to\pin(S^n)\stackrel{p}{\to}\pin(P^n)\to\pi{n-1}(\mathbb{Z}_2)\to\cdots$$ associated to this fibration. For $n\geq 1$, $\pi_n (\mathbb {Z} 2) $is trivial and so$p$is a monomorphism from a non-trivial (infinite cyclic) group into$\pi_n(P^n) $and so is not the trivial map. It follows that$p$ no es null homotópicas.

Como Qiaochu dijo en los comentarios, $k\geq 2$ también tenemos $\pi_{k-1}(\mathbb{Z}2)=0$y por lo que incluso sabemos que$p*\colon\pi_k(S^n)\to\pi_k(P^n)$es un isomorfismo para todo$k\geq 2$,$n\geq 1$.

Answer 3

Un enfoque ligeramente diferente: es de la homotopía cofiber $S^n \to \mathbb RP^n$ $\mathbb RP^{n+1}$. Así, si $S^n \to \mathbb RP^n$ eran nullhomotopic entonces $RP^{n+1} \simeq \mathbb RP^n \vee S^{n+1}$, pero no es el caso por tomar, por ejemplo, cohomología con $\mathbb Z/2$ coefficents. Es decir: $H^(\mathbb RP^n \vee S^{n+1}, \mathbb Z/2) = \mathbb Z/2[x1,y{n+1}]/(x_1^n, x1y{n+1}, y_{n+1}^2)$, que$H^(\mathbb RP^{n+1}) = \mathbb Z/2[x_1]/(x_1^{n+1})$