Métrica hermitiana estándar en una variedad compleja

Question

Tengo algunos problemas en la definición de la métrica hermitiana en una variedad hermitiana:

Dejemos que $M$ sea una variedad riemanniana de dimensión real $n>1$ con coordenadas reales $x_1,\dots,x_n$ . $M$ tiene una forma bilineal suavemente variable en cada espacio tangente, $ds^2=\sum_{i,j}g_{ij}dx_i\otimes dx_j$ . Supongamos ahora que $ds^2$ es la forma bilineal estándar de $\mathbb{R}^n$ entonces podemos escribir $ds^2=\sum_{i=1}^ndx_i\otimes dx_i$ y es tal que, dado el vector tangente $v=\sum_{j=1}^nv_i\frac{\partial}{\partial x_j}$ , $ds^2(v,v)=\sum_{i=1}^ndx_i(\sum_{j=1}^nv_i\frac{\partial}{\partial x_j})\otimes dx_i(\sum_{j=1}^nv_i\frac{\partial}{\partial x_j})=\sum_{i=1}^nv_i^2$ . No puedo hacer esto mismo en un colector hermitiano:

Dejemos que $X$ sea una variedad hermitiana de dimensión compleja $k>1$ con coordenadas complejas $z_1,\dots,z_k$ . $X$ tiene una métrica hermitiana que varía suavemente $h=\sum_{i,j}h_{i,j}dz_i\otimes d\overline{z_j}$ en cada espacio tangente. Como antes, supongamos que $h$ es la métrica hermitiana estándar de $\mathbb{C}^k$ entonces $h=\sum_{i=1}^kdz_i\otimes d\overline{z_i}$ . Dado un vector tangente $w=\sum_{j=1}^kw_j\frac{\partial}{\partial z_j}$ debe ser por supuesto $h(w,w)=\sum_{j=1}^kw_j\overline{w_j}=\sum_{j=1}^k|w_j|^2$ . Pero lo que consigo es $h(w,w)=\sum_{i=1}^kdz_i(\sum_{j=1}^kw_j\frac{\partial}{\partial z_j})\otimes d\overline{z_i}(\sum_{j=1}^kw_j\frac{\partial}{\partial z_j})=0$ desde $d\overline{z_i}(\frac{\partial}{\partial z_i})=\frac 1 2(dx_i-idy_i)(\frac{\partial}{\partial x_i}-i\frac{\partial}{\partial y_i})=0$ .

Debe haber un error, ¿alguien me lo puede explicar?

También, No entiendo qué hacen los vectores tangentes conjugados $\frac{\partial}{\partial \overline{z_j}}$ representan . ¿Cuál debería ser el resultado de $h( \frac{\partial}{\partial \overline{z_j}},\frac{\partial}{\partial \overline{z_j}})$ y $h(\frac{\partial}{\partial z_j},\frac{\partial}{\partial \overline{z_j}})$ si $h$ es la métrica hermitiana estándar?

Answer 1

$\newcommand{\dd}{\partial}$ Si entiendo su pregunta, la cuestión esencial se plantea ya en una curva compleja. Para simplificar, entonces, escriba una coordenada compleja local como $z = x + iy$ con $x$ y $y$ real, por lo que $$ \begin{aligned} dz &= dx + i\, dy,\vphantom{\frac{\dd}{\dd}} \\ d\bar{z} &= dx - i\, dy,\vphantom{\frac{\dd}{\dd}} \end{aligned} \qquad \begin{aligned} \dd_{z} &:= \frac{\dd}{\dd z} = \frac{1}{2}\left[\frac{\dd}{\dd x} - i\, \frac{\dd}{\dd y}\right], \\ \dd_{\bar{z}} &:= \frac{\dd}{\dd \bar{z}} = \frac{1}{2}\left[\frac{\dd}{\dd x} + i\, \frac{\dd}{\dd y}\right]. \end{aligned} $$ Es fácil comprobar que $$ dz(\dd_{z}) = d\bar{z}(\dd_{\bar{z}}) = 1,\qquad dz(\dd_{\bar{z}}) = d\bar{z}(\dd_{z}) = 0, $$ y que $$ dz \otimes d\bar{z} = (dx \otimes dx + dy \otimes dy) - i(dx \otimes dy - dy \otimes dx). $$ En consecuencia, $$ dz \otimes d\bar{z}(\dd_{z}, \dd_{\bar{z}}) = 1,\qquad dz \otimes d\bar{z}(\dd_{z}, \dd_{z}) = dz \otimes d\bar{z}(\dd_{\bar{z}}, \dd_{z}) = dz \otimes d\bar{z}(\dd_{\bar{z}}, \dd_{\bar{z}}) = 0. $$ En particular, $(dz \otimes d\bar{z})(w, \bar{w}) = |w|^{2}$ por cada $(1, 0)$ -vector $w$ mientras que, como usted señala, $(dz \otimes d\bar{z})(w, w) = 0$ .