Máximo de un polinomio trigonométrico

Question

<blockquote> <p>Dado $$x+y+z=\pi$$ $$3\sin(x)+4\sin(y)+18 \sin(z)=A$ $ pregunta: encontrar máximo % de $A$.</p> </blockquote> <p>Paso tanto tiempo en esta cuestión.</p> <p>respuesta es $ 35\sqrt{7} /4$, pero ¿por qué?</p>

Answer 1

Suponiendo que $x,y,z>0$, se puede escribir como: $$3\sin(x)+4\sin(y)+18 \sin(\pi - x - y)=A$ $ ahora encontrar cuando los derivados: $$\frac{\partial A}{\partial x}, \frac{\partial A}{\partial y}$ $ son igual a cero. Obtendrás: $$3 \cos(x) + 18 \cos(x + y)= 0,\ 4 \cos(y) + 18 \cos(x + y) = 0$ $, que conduce a: $$y=\arccos\left(\frac{3 \cos x}{4}\right)$ $ conectar hacia el término de $\cos(x+y)$ y con $\cos(\arctan x)=1/\sqrt{1+x^2}$, usted conseguirá una cuadrática en $t = \cos x$: $$3 t + \frac{27 t^2}{2} - 18 \sqrt{1 - t^2} \sqrt{1 - 9 t^2/16} = 0$ $ o: %#% $ #% finalmente, conecte lo valores $$t^2 (229 + 36 t) = 144 \ \to \ t=\cos x = 3/4$ en la función original. El truco aquí es tener en cuenta que: $\arccos\alpha \pm \arccos\beta = \arccos\left (\alpha\beta \mp \sqrt{(1-\alpha^2)(1-\beta^2)} \right)$$ $(x = \arccos 3/4, y = \arccos 9/16)$ $ para que: $$\sin(\arccos x) = \sqrt{1-x^2}$ $ y: %#% $#%