En la reducción de complejo ODE ' s a Bessel ' forma s con Kummer ' serie s

Question

Estoy tratando de reducir la siguiente ODA a la Bessel ODA forma y resolverlo: $$x^{2}y''(x)+x(4x^{3}-3)y'(x)+(4x^{8}-5x^{2}+3)y(x)=0\tag{1} \, .$$

Traté de resolverlo mediante el método estándar, es decir, mediante la comparación con una generalizada ODE forma y la búsqueda de la solución a partir de entonces. La forma general (como se da en María L. Boas- Métodos Matemáticos en Ciencias Físicas) es:

$$y''(x)+\frac{1-2a}{x}y'(x)+\left((bcx^{c-1})^{2}+\frac{a^{2}-p^{2}c^{2}}{x^{2}}\right)y(x)=0\tag{2} \, ,$$ y la solución:$$y(x)=x^{a}Z_{p}(bx^{c})\tag{3} \, .$$

Pero soy incapaz de obtener la respuesta a través de este método. La solución es la siguiente: $$y(x)=x^{2}e^{-\frac{x^{4}}{2}}[AI_{1}(\sqrt{5}x)+BK_{1}(\sqrt{5}x)]\tag{4}$$ Se obtiene mediante la comparación con otro formulario estándar que está dado de la siguiente manera:

$$x^{2}y''(x)+x(a+2bx^{p})y'(x)+[c+dx^{2q}+b(a+p-1)x^{p}+b^{2}x^{2p})y(x)=0\tag{5} \, ,$$ y la solución como: $$y(x)=x^{\alpha}e^{-\beta x^{p}}[AJ_{\nu}(\lambda x^{q})+BY_{\nu}(\lambda x^{q})]\tag{6} \, .$$

Donde: $\alpha=\frac{1-a}{2}$, $\beta=\frac{b}{p}$, $\lambda=\frac{\sqrt{d}}{q}$, $\nu=\frac{\sqrt{(1-a)^{2}-4c)}}{2q}$

Si me brecha a través de la educación a distancia por $x^{2}$, me gustaría conseguir el Fuchasian forma: $$y''(x)+f(x)y'(x)+g(x)y(x)=0$$

Los términos de $xf(x)$ $x^{2}g(x)$ son ampliables en convergentes de alimentación de la serie $\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}$, por lo tanto existe una no esenciales de la singularidad en el origen. Pero soy incapaz de resolver mediante el método de Frobenius.

Por lo tanto, mi pregunta - ¿Cómo es la forma generalizada de la ecuación ($(5)$ llegó y, por qué no puedo usar $(2)$ lugar? En lugar de traer esta ODA a un no-estándar de la forma dada en la ecuación de $(5)$, hay una manera de derivar la ecuación (y de deducir la solución general)? Cualquier ayuda es muy apreciada.

Editar: He encontrado el siguiente formulario en un libro:

$$x^{2}y''(x)+x(a+2bx^{p})y'(x)+[c+dx^{2q}+fx^{q}+b(a+p-1)x^{p}+b^{2}x^{2p})y(x)=0\tag{7} \, .$$

La única diferencia entre la anterior y la ecuación de $(6)$ es el plazo adicional:$fx^{q}$ Ahora, si yo sustituto $y=we^{-\frac{bx^{p}}{p}}$ en la ecuación de $(7)$, se simplifica a la siguiente ecuación lineal:

$$x^{2}w''(x)+axw'(x)+(dx^{2q}+fx^{q}+c)w(x)=0\tag{8}\,.$$

Ahora, utilizando la transformación de $z=x^{q}$, e $y=wz^{k}$ donde $k$ es la raíz de la siguiente ecuación cuadrática: $q^{2}k^{2}+q(a-1)k+c=0$; conduce a una mayor simplificación y lineal de la forma:

$$q^{2}zy''(z)+[qbz+2kq^{2}+q(q-1+a)]y'(z)+(dz+kqb+f)y(z)=0\tag{9}\,.$$ Esta ecuación tiene la solución: $y(x)=e^{kx}w(z)$ donde $w(z)$ es la solución a la ecuación hipergeométrica como se indica a continuación

Ahora, vamos a una función de $\Omega(b,a;x)$ ser una solución arbitraria a los degenerados hipergeométrica ecuación:

$$xy''(x)+(a-x)y'(x)-by(x)=0\tag{10}\,.$$

Y $Z_{\nu}(x)$ ser una solución arbitraria de la ecuación de Bessel. Ahora en la ecuación de $(10)$ si $b\neq0,-1,-2,-3,...$, la solución está dada por la Kummer de la serie como: $$\Phi(b,a;x)=1+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(b)_{k}x^{k}}{(a)_{k}k!}$$ Donde:$(b)_{k}=b(b+1)...(b+k-1)$ Al $a$ no es un entero, la solución puede ser escrita como: $$y=C_{1}\Phi(b,a;x)+C_{2}x^{1-a}\Phi(b-a+1,2-a;x)$$ Hacer las siguientes sustituciones: $b=2n$ $a=n$ Ahora la serie se convierte en:

$$\Phi(n,2n;x)=\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)e^{\frac{x}{2}}\left(\frac{x}{4}\right)^{(-n+\frac{1}{2})}I_{n-\frac{1}{2}}(\frac{x}{2})$$ Y $$\Phi(-n,-2n;x)=\frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{\frac{x}{2}}\left(x\right)^{(-n+\frac{1}{2})}K_{n-\frac{1}{2}}(x)$$

La sustitución de la anterior en la solución de la ecuación de $(9)$, la solución general es: $$y=e^{x(k+\frac{1}{2})}\left[C_{1}\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)\left(\frac{x}{4}\right)^{(-n+\frac{1}{2})}I_{n+\frac{1}{2}}(x)+C_{2}\frac{1}{\sqrt{\pi}}\left(x\right)^{(-n+\frac{1}{2})}K_{n+\frac{1}{2}}(x)\right]$$ Que se simplifica a:

$$y(x)=\left(x\right)^{(-n+\frac{1}{2})}e^{x(k+\frac{1}{2})}\left[C_{1}\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{4}\right)^{(-n+\frac{1}{2})}I_{n+\frac{1}{2}}(x)+C_{2}\frac{1}{\sqrt{\pi}}K_{n+\frac{1}{2}}(x)\right]$$

Cual es la solución final. He intentado hacer lo mismo con la ecuación de $(6)$, pero no obtener la solución. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Ya que para el paso en el que pointly eliminar la $y$ término de coeficiente de $x^8$ respecto al $y''$ término de coeficiente de $x^2$ ,

Deje $y=e^{mx^4}u$ ,

A continuación, $y'=e^{mx^4}u'+4mx^3e^{mx^4}u$

$y''=e^{mx^4}u''+4mx^3e^{mx^4}u'+4mx^3e^{mx^4}u'+(16m^2x^6+12mx^2)e^{mx^4}u=e^{mx^4}u''+8mx^3e^{mx^4}u'+(16m^2x^6+12mx^2)e^{mx^4}u$

$\therefore x^2(e^{mx^4}u''+8mx^3e^{mx^4}u'+(16m^2x^6+12mx^2)e^{mx^4}u)+x(4x^3-3)(e^{mx^4}u'+4mx^3e^{mx^4}u)+(4x^8-5x^2+3)e^{mx^4}u=0$

$x^2(u''+8mx^3u'+(16m^2x^6+12mx^2)u)+x(4x^3-3)(u'+4mx^3u)+(4x^8-5x^2+3)u=0$

$x^2u''+8mx^5u'+(16m^2x^8+12mx^4)u+x(4x^3-3)u'+(16mx^7-12mx^4)u+(4x^8-5x^2+3)u=0$

$x^2u''+x(8mx^4+4x^3-3)u'+((16m^2+4)x^8+16mx^7-5x^2+3)u=0$

Elija $m=\pm\dfrac{i}{2}$ , la educación a distancia se convierte en $x^2u''+x(\pm4ix^4+4x^3-3)u'+(\pm8ix^7-5x^2+3)u=0$

El más tedioso $u$ término de coeficiente de $x^7$ también vienen de fuera.

También, la comprobación en WolframAlpha, no tome ningún comentario acerca de su solución general, no es razonable que sólo el simple vinculación con la ecuación de Bessel?

Tengo que admitir que si la educación a distancia es $x^2y''(x)+x(4x^4-3)y'(x)+(4x^8-5x^2+3)y(x)=0$ vez la situación se vuelve mucho más simple.

Ya que para el paso en el que pointly eliminar la $y$ término de coeficiente de $x^8$ respecto al $y''$ término de coeficiente de $x^2$ ,

Deje $y=e^{mx^4}u$ ,

A continuación, $y'=e^{mx^4}u'+4mx^3e^{mx^4}u$

$y''=e^{mx^4}u''+4mx^3e^{mx^4}u'+4mx^3e^{mx^4}u'+(16m^2x^6+12mx^2)e^{mx^4}u=e^{mx^4}u''+8mx^3e^{mx^4}u'+(16m^2x^6+12mx^2)e^{mx^4}u$

$\therefore x^2(e^{mx^4}u''+8mx^3e^{mx^4}u'+(16m^2x^6+12mx^2)e^{mx^4}u)+x(4x^4-3)(e^{mx^4}u'+4mx^3e^{mx^4}u)+(4x^8-5x^2+3)e^{mx^4}u=0$

$x^2(u''+8mx^3u'+(16m^2x^6+12mx^2)u)+x(4x^4-3)(u'+4mx^3u)+(4x^8-5x^2+3)u=0$

$x^2u''+8mx^5u'+(16m^2x^8+12mx^4)u+x(4x^4-3)u'+(16mx^8-12mx^4)u+(4x^8-5x^2+3)u=0$

$x^2u''+x((8m+4)x^4-3)u'+((16m(m+1)+4)x^8-5x^2+3)u=0$

Elija $m=-\dfrac{1}{2}$ , la educación a distancia se convierte en $x^2u''-3xu'-(5x^2-3)u=0$

Que es muy afortunado de que la $y'$ término de coeficiente de $x^5$ también puede eliminar.

Ahora el paso que ajustar el $u'$ término de coeficiente de $x$ ,

Deje $u=x^nv$ ,

A continuación, $u'=x^nv'+nx^{n-1}v$

$u''=x^nv''+nx^{n-1}v'+nx^{n-1}v'+n(n-1)x^{n-2}v=x^nv''+2nx^{n-1}v'+n(n-1)x^{n-2}v$

$\therefore x^2(x^nv''+2nx^{n-1}v'+n(n-1)x^{n-2}v)-3x(x^nv'+nx^{n-1}v)-(5x^2-3)x^nv=0$

$x^{n+2}v''+2nx^{n+1}v'+n(n-1)x^nv-3x^{n+1}v'-3nx^nv-(5x^2-3)x^nv=0$

$x^{n+2}v''+(2n-3)x^{n+1}v'-(5x^2-n(n-4)-3)x^nv=0$

$x^2v''+(2n-3)xv'-(5x^2-n(n-4)-3)v=0$

Elija $n=2$ , la educación a distancia se convierte en $x^2v''+xv'-(5x^2+1)v=0$

Que se refiere a la ecuación de Bessel.

Answer 2

Trabajo en Mathematica, me parece que (3) es la solución general de la ecuación diferencial $$x^{2}y''(x)+x(4x^{4}-3)y'(x)+(4x^{8}-5x^{2}+3)y(x)=0.$$ Esta casi enteramente partidos (1), pero difiere en que el término lineal contiene $x^4$ en lugar de $x^3$. Así que usted debe comprobar el origen del problema para ver si (1) se transcribe incorrectamente: Si fue así, entonces, que arregla las cosas; si el libro tenía de hecho $x^3$, a pesar de, entonces es un error tipográfico y el profe debe ser informado.

Para determinar la ODA que la solución general satisface, me define

y1[x_] := x^2 Exp[-x^4/2] BesselI[1, x Sqrt[5]]

como uno de los dos linealmente independiente de soluciones para la educación a distancia. Suponiendo que la deseada ODA es de la forma $$x^2y''(x)+x A(x) y'(x)+B(x)y(x)=0$$ for some appropriate $a,B$, he conectado la solución anterior en el lado izquierdo y simplificar:

x^2 y1''[x] + x A[x] y1'[x] + B[x] y1[x] // FullSimplify

==> E^(-(x^4/2)) x^2 (Sqrt[5]x (3 - 4 x^4 + A[x]) BesselI[0,Sqrt[5] x] 
      + (5 x^2 - 10 x^4 + 4 x^8 + A[x] - 2 x^4 A[x] + B[x]) BesselI[1, Sqrt[5] x])`

A partir de esto podemos deducir que ambos términos se desvanecen de forma idéntica cuando \begin{align} A(x)&=4x^4-3\\\\ B(x)&=(2 x^4 - 1) A(x) + 10 x^4 - 4 x^8 - 5 x^2\\&=4x^8 - 5 x^2 + 3 \end{align} cual es el resultado citado anteriormente. Esto puede ser aún más marcada por pedir Mathematica para resolver el La educación a distancia directamente:

 DSolve[x^2 y''[x]+x (4x^4-3)y'[x]+(3-5 x^2+4 x^8) y[x]==0,y[x],x]

 ==> {{y[x]->E^(-(x^4/2)) x^2 (-I BesselI[1,Sqrt[5] x] C[1]
               +BesselY[1,-I Sqrt[5] x] C[2])}}

El comercio de funciones de Bessel $J,Y$ modificado funciones de Bessel $I,K$ a continuación se da la indicada en la solución general a la integración de las constantes.