Tengo que encontrar el extremo de $f(x,y) = (4x^2+y^2)e^{-x^2-4y^2}$ como de costumbre, primero derviativo y encontrar raíces ( $e$ ya limpios): $$8x+(4x^2+y^2)(-2x)=0$$ $$2y+(4x^2+y^2)(-8y)=0$$ Pero no puedo resolver esa ecuación para otra que no sea $(x,y)=(0/0)$ . Después de eso, tengo $$4-4x^2-y^2=0$$ $$1-16x^2-4y^2=0$$ pero no puedo exprimir ninguna raíz de eso, debería haber alguna más.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Pista: Más arriba señaló que $(0,0)$ es una solución, y a continuación se considera el caso en que $y\neq 0$ y $x\neq 0$ . Este caso como usted remarcó no tiene soluciones ya que $4x^2+y^2$ no puede tomar dos valores diferentes. Pero, ¿son estos todos los casos?
¿Y cuando $x=0$ y $y\neq 0$ ? Entonces $8x+(4x^2+y^2)(-2x)=0$ se cumple, y la segunda ecuación después de dividir por $y$ se convierte en $$\frac{1}{4}=y^2$$ dando lugar a los dos pares adicionales $(0,\frac{1}{2}),\ (0,-\frac{1}{2})$ .
Del mismo modo, ¿qué ocurre cuando $y=0$ y $x\neq 0$ ? Deberíamos conseguir $2$ soluciones adicionales de este caso.
Espero que le sirva de ayuda,
