Asféricas de homología de la clase

Question

Estoy completamente atascado en la siguiente topología algebraica ejercicio:

Deje $X$ $Y$ CW complejos y $\alpha \in H_p(X)$, $\beta \in H_q(Y)$, $p, q > 0$, la homología de las clases que la homología de la cruz del producto $\alpha \times \beta \neq 0$ $H_{p+q}(X \times Y).$ Muestran que $\alpha \times \beta$ es esférico, es decir, no hay un mapa $\phi \colon S^{p+q} \to X \times Y$ tal que $\phi_*[S^{p+q}] = \alpha \times \beta$ donde $[S^{p+q}]$ denota la clase fundamental de $S^{p+q}$.

Estoy bastante seguro de que el teorema de Hurewicz le juegan una regla en la solución, pero yo no veo cómo.

Tal vez podría ser útil para jugar con la definición de los celulares de homología de $X$$Y$, ya que involucra a los mapas de esferas y discos a$X$$Y$, pero de nuevo no veo cómo esto puede realmente conducir a una solución.

(El ejercicio es tomado del libro Stöcker/Zieschang - Algebraische Topologie y no una tarea problema).

Answer 1

No veo cómo utilizar Hurewicz del teorema ya que no sabemos nada acerca de la inferior-dimensiones de las clases. Me gustaría tratar de utilizar la estructura del producto en cohomology, por ejemplo, si $a$ es un cohomology de clase doble a $\alpha$ $b$ es un cohomology de clase doble a $\beta$ $a\cup b$ será un valor distinto de cero de la clase. Si los pares de trivial con una homología de la clase representada por una esfera $S^{p+q}$, entonces usted puede recuperar las clases a las $a$ $b$ a la esfera y obtener no trivial de (co)homología de las clases que están "obligados" por la connaturalidad de la copa del producto, produciendo una contradicción. Los detalles técnicos pueden no funcionar exactamente como he dicho, pero estoy seguro de que esta dirección tiene una mejor oportunidad de éxito que Hurewicz.