Cálculo de Ext

Question

Deje $A$ ser un grupo abelian.

Sé que $Ext_\mathbb{Z}^1(\mathbb{Z}/p,A)=A/pA$.

¿Hay alguna fórmula similar acerca de $Ext_\mathbb{Z}^1(A,\mathbb{Z}/p)$?

Sé que $Ext_R^n(A,B)\neq Ext_R^n(B,A)$ generalmente.

Answer 1

Formulario de la inyectiva resolución $$0 \a \dfrac{1}{p}\mathbb Z/\mathbb Z \a \mathbb Q/\mathbb Z \buildrel \cdot p \sobre \a \mathbb Q/\mathbb Z \a 0.$$ La aplicación de $\mathrm{Hom}(A,\text{--})$ a esto, nos encontramos con que $$\mathrm{Ext}^1(A, \mathbb Z/p) = \mathrm{Ext}^1(A,\dfrac{1}{p}\mathbb Z/\mathbb Z) = {\mathrm Hom} (\mathbb Q/\mathbb Z)/p.$$

Tenga en cuenta que $\mathrm{Hom}(A,\mathbb Q/\mathbb Z)$ es (hablando algo de manera informal; ver mi comentario dirigido a Rasmus a continuación) una versión de la Pontrajagin doble de $A$. (En particular, si $A$ es de torsión, entonces es precisamente el Pontrjagin dual.) De hecho, podríamos sustituir $\mathbb Q/\mathbb Z$ por el círculo de grupo $S^1$ en el anterior inyectiva resolución y, a continuación, nos encontraríamos con que $$\mathrm{Ext}^1(A,\mathbb Z/p) = \hat{A}/p\hat{A},$$ donde $\hat{A} = \mathrm{Hom}(A,S^1)$ es el Pontrjagin dual del grupo abelian $A$ (con su topología discreta).

[Nota: yo comencé a escribir esta respuesta algunas horas, pero luego se distrae. Es esencialmente el mismo que el de the Rasmus, aunque, en lugar de utilizar cualquiera de las $\mathbb Q/\mathbb Z$ o $S^1$, se utiliza el $\mathbb Z(p^{\infty})$, que es el $p$-potencia de torsión parte de $\mathbb Q/\mathbb Z$. (Si lo desea, usted puede escribir como $\mathbb Q_p/\mathbb Z_p$.) Estas descripciones reflejan la flexibilidad en la elección de un inyectiva resolución de $\mathbb Z/p$.]

Answer 2

Necesitamos una inyectiva resolución de $\mathbb Z/p$ en la segunda variable. Un grupo Abelian es inyectiva si y sólo si es divisible.

Así, el primer paso será insertar $\mathbb Z/p$ a un múltiplo Abelian grupo. Para esto, podemos utilizar la Prüfer $p$grupo $\mathbb Z(p^\infty)$.

El cokernel de esta inclusión es de nuevo el Prüfer $p$-grupo, de manera que obtenemos la inyectiva resolución de $\mathbb Z(p^\infty)\to\mathbb Z(p^\infty)$ dado por la multiplicación con $p$.

Por lo tanto tenemos $$ Ext_\mathbb{Z}^1(A,\mathbb{Z}/p)=\frac{Hom_\mathbb{Z} (\mathbb{Z}(p^\infty))}{p\cdot Hom_\mathbb{Z} (\mathbb{Z}(p^\infty))}. $$

No creo que es fácil entender homomorphisms en $\mathbb{Z}(p^\infty)$ porque es un directo/inyectiva límite. (Edit: Pero por favor, lea Matt E comentario de abajo).

Answer 3

Sólo quiero agregar que $\operatorname{Ext}(A,G)$ es totalmente computable al $A$ $G$ son finitely generado abelian grupos.

Usted puede encontrar las pruebas en cualquier decente libro sobre álgebra homológica:

1) Si $A$ es gratis abelian, a continuación, $\operatorname{Ext}(A,G)=0$

2) Si $G$ es divisible $\operatorname{Ext}(A,G)=0$

3) $\operatorname{Ext}(A,\prod G_j)=\prod \operatorname{Ext}(A,G_j)$

4) $\operatorname{Ext}(\sum A_j,G)=\prod \operatorname{Ext}(A_j,G)$

5) $\operatorname{Ext}(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z},G)=G/mG$ (como se indica)