La fracción continua de una secuencia es única

Question

Dejemos que $X\in\mathcal{P}(\mathbb{N})$ y definir una fracción continua $$f(X)=\cfrac{1}{x_1+\cfrac{1}{x_2+\cfrac{1}{x_3+\cfrac{1}{x_4+\cdots}}}}$$ para cada elemento $x_i\in X$ . Me pregunto si $f:\mathcal{P}(\mathbb{N})\rightarrow [0,1]$ es inyectiva. Si no es así, ¿algo como $$g(X)=\cfrac{|X|}{x_1+\cfrac{1}{x_2+\cfrac{1}{x_3+\cfrac{1}{x_4+\cdots}}}}$$ para un $X$ o $$h(X)=\cfrac{\bar{d}(X)}{x_1+\cfrac{1}{x_2+\cfrac{1}{x_3+\cfrac{1}{x_4+\cdots}}}}$$ para un infinito $X$ , donde $\bar{d}(A)$ es la densidad asintótica superior de $X$ ¿funciona como una función inyectiva?

Answer 1

$f$ es inyectiva (véase https://en.wikipedia.org/wiki/Continued_fraction ). Los conjuntos infinitos producen números irracionales, los conjuntos finitos números racionales.

Cada número irracional es el valor de un único fracción continua infinita.

Cada número racional puede representarse exactamente de dos maneras como fracción continua finita, pero sólo en una de ellas el $x_i$ tienen la posibilidad de ir aumentando.