Teorema de representación de Riesz - otro "contraejemplo" más

Question

esto es un seguimiento de un pregunta anterior Yo pregunté.

Buscaba ejemplos de cuando el teorema de representación de Riesz no se sostiene porque no se cumplen todas las condiciones. Es decir, buscaba ejemplos de funcionalidades sobre espacios de productos internos que no pueden ser representados como un producto interno con algún vector específico.

Se me ocurrió un ejemplo propio, pero no estoy del todo seguro de que sea correcto, y me gustaría oír su opinión sobre si es cierto. Si es cierto, le agradecería que me ayudara a probarlo formalmente, porque estoy teniendo algunos problemas en esta área:

Estoy mirando el espacio de todas las secuencias reales cuya suma converge absolutamente, con el producto interno $ \langle a, b \rangle = \Sigma_ {k=1}^{ \infty } a_{k}b_{k}$ . En este espacio, defino la función lineal que mapea cualquier secuencia a su suma.

Es bastante fácil ver que lo funcional podría hipotéticamente representarse como un producto interno con la secuencia: $(b_{n})=(1, 1, 1,...)$ . Pero como esta secuencia no es parte del espacio vectorial, el producto interno no está definido en él.

¿Crees que este ejemplo es correcto? Si lo es, ¿cómo probaría que no puede haber otro vector que pueda representar esta función? Soy completamente nuevo en este mundo de contenido, así que cualquier comentario sería apreciado (es decir, si cometiera algún error, por favor explique dónde está y si hay una forma de evitarlo de alguna manera cambiando partes del ejemplo).

¡Gracias de antemano!

Answer 1

Sí, es correcto. Para probar que este funcional no puede ser representado por ningún otro vector, considere lo que el funcional hace a $e_j$ que tiene $1$ en posición $j$ y $0$ en todos los demás lugares.

Answer 2

Es cierto que $f : \ell ^1 \to \mathbb {R}$ dado por $f(x_i)_i = \sum_ {i=1}^ \infty x_i$ no puede ser representado por la multiplicación escalar con un vector $ \ell ^1$ y que el único candidato es $(1, 1, \ldots )$ .

Sin embargo, este ejemplo no es tan interesante porque $f$ no es una función lineal limitada en $ \ell ^1$ en primer lugar (recuerda, estás mirando $ \ell ^1$ equipado con el $ \ell ^2$ norma!).

Considere $x_n = \left (1, \frac12 , \ldots , \frac1n , 0,0, \ldots\right ) \in \ell ^1$ . Tenemos $\|x_n\|_2 = \sum_ {i=1}^n \frac1 {i^2} \le \frac { \pi ^2}6$ pero $|f(x_n)| = \sum_ {i=1}^n \frac1i $ que no tiene límites como $n \to \infty $ .

El teorema de representación de Riesz no dice nada sobre las funciones ilimitadas.