¿De qué son las funciones trigonométricas hiperbólicas?

Question

Las funciones trigonométricas circulares toman un ángulo y escupen una proporción. ¿Qué toman las funciones hiperbólicas (sé que es un número, pero qué representa geométricamente)?

He visto imágenes que sugieren que son una función del área, y otras describen $(\cosh(t),\sinh(t))$ como paramétrica, lo que me hace pensar que t es la longitud de arco cubierta a medida que te mueves a lo largo de la hipérbola unitaria, al igual que con una función trigonométrica paramétrica circular t puede interpretarse como longitud de arco. Parece que debería ser la función de un ángulo, pero no lo es.

Answer 1

El factor de conexión entre las funciones hiperbólicas y circulares y el círculo unitario y la hipérbola no es el ángulo subtendido por la curva, sino el zona delimitada por ella. Aquí hay dos imágenes que he sacado de Internet:

Considere el punto $\mathrm H(\cosh w, \sinh w)$ en la hipérbola unitaria y el punto $\mathrm C(\cos z, \sin z)$ en el círculo unitario, ambos trazados en el $xy$ -Avión. Entonces

• $w$ es igual al doble del área delimitada por $\rm OH$ la hipérbola y la $x$ -eje,

y como el área del círculo unitario es $\pi(1)^2=\pi$ entonces

• $z$ es igual al doble del área delimitada por $\rm OC$ el círculo, y el $x$ -eje.

Así que para resumir, la relación entre el argumento $t$ de cualquiera de las funciones mencionadas y el área $a$ limitado por su locus característico es $t=2a$ .

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Mencionas que "la longitud de arco se cubre a medida que te mueves a lo largo de la hipérbola unitaria". Consideremos la fórmula integral de la longitud de arco

$$L = \int_\alpha^\beta\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt$$

y comparar la longitud del arco $L(\mathrm H(T))$ trazado a lo largo de la hipérbola unitaria desde el punto $(1,0)$ a $(\cosh T, \sinh T)$ y la longitud del arco $L(\mathrm C(T))$ trazado a lo largo del círculo unitario desde el punto $(1,0)$ a $(\cos T, \sin T)$ :

$$\begin{align} \mathrm H &: \begin{cases} x=\cosh t \\ y=\sinh t\end{cases} \\[2ex] &: \begin{cases} {dx}/{dt} = \sinh t \\ {dy}/{dt} = \cosh t\end{cases} \\[4ex] \mathrm C &: \begin{cases} x=\cos t \\ y=\sin t\end{cases} \\[2ex] &: \begin{cases} {dx}/{dt} = -\sin t \\ {dy}/{dt} = \cos t\end{cases} \end{align}$$

Así que

$$L(\mathrm H(T)) = \int_0^T \sqrt{ \cosh^2 t + \sinh^2 t } \, dt$$ $$L(\mathrm C(T)) = \int_0^T \sqrt{ \cos^2 t + \sin^2 t } \, dt$$

Ahora invoca las identidades $\sin^2t+\cos^2t = 1$ pero $\sinh^2t+\cosh^2t = \exp2t-\sinh(t)\cosh(t)$ y verás que

$$L(\mathrm C(T)) = \int_0^T \sqrt{ 1 } \, dt = t\bigr|_0^T = T$$

$$\begin{align} L(\mathrm H(T)) &= \int_0^T \sqrt{ e^{2x} - {e^x-e^{-x}\over2} \cdot {e^x+e^{-x}\over2} } \, dt \\[2ex] &= \int_0^T \sqrt{ e^{2x} - {e^{2x}-1-1-e^{-2x}\over4} } \, dt \\[2ex] &= \int_0^T \sqrt{ {4e^{2x} - e^{2x}+2+e^{-2x}\over4} } \, dt \quad \cdots \end{align}$$

¿Te ayuda eso a ver por qué la bonita relación que se ve entre $t$ y $L(\mathrm C(T))$ no surge con $t$ y $L(\mathrm H(T))$ ?