Necesito ayuda con el límite de esta sucesión con término general $$ a_n = \left(1+\frac{1}{2}\right) \left(1+\frac{1}{4}\right) \times \dots \times \left(1+\frac{1}{2^n}\right) $$ ¿Alguna idea?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Martijn Weterings
Puntos
36
-
Se puede reescribir en términos de Función de Euler
$$\psi(x) = \prod_{n=1}^{n=\infty} \left( 1 + x^n\right) = \frac{\phi(x)}{\phi(x^2)}$$
con $\phi(x) = \prod_{n=1}^{n=\infty} \left( 1 - x^n\right)^{-1}$
-
y se puede escribir como
$$\psi(x) = \prod_{n=1}^{n=\infty} \left( 1 + x^n\right) = \sum_{n=0}^{n=\infty} b_n x^n$$
Con $b_n$ el número de particiones de $n$ en partes distintas (partición estricta) . Para ver ejemplos de la partición, consulte http://oeis.org/A118457 .
Véase, por ejemplo, Vaclav Kotesovec Un método para encontrar la asintótica de las series q basado en la convolución de las funciones generadoras (pero hay muchos otros que describen esto)
el asympote para $b_n$ se calcula que es:
$$b_n \sim \frac{e^{\pi \sqrt{n/3}}}{4 \sqrt[4]{3} {n}^{{3/4}}} \qquad \text{with } n \to \infty$$
véase, por ejemplo, (Ingham 1942 Teorema de Tauber para las particiones )
Ahora podemos demostrar que esta suma con los términos $b_n x^n$ al menos converge (por ejemplo prueba de relación ).
No estoy seguro de si se puede calcular con exactitud, pero con esta expresión sumatoria deberías ser capaz de calcularlo y también podrías calcular un máximo para el error utilizando una integral.
