¿$\int_0^\infty \frac{\sin(\sin(x))}{x}dx$ Convergen o divergen?

Question

Estoy tratando de perno de la convergencia de $$\int_0^\infty \frac{\sin(\sin(x))}{x}dx.$$

Realmente no tengo idea sobre cómo resolver esta integral. Por desgracia, yo no puedo majorate absolutamente $\frac{\sin(\sin(x))}{x}$ $L^1(0,\infty )$ función, así que estoy pensando que no convergen, pero no soy capaz de demostrarlo. Además, gráficamente se ve a converger más lento de lo $x\longmapsto \frac{1}{x}$, así que me imagino que no convergen, pero desde $\frac{\sin(\sin(x))}{x}$ a menudo cambian de signo, que podría ser sorprendido.

Por el contexto, es una pregunta de un examen de 1er año de licenciatura en matemáticas, así que no podemos usar el teorema de como dominadas o monótono teorema de convergencia. Y el argumento también debe ser más o menos elemental (espero).

Answer 1

Sugerencia. Mostrar que limita $$F(x):=\int_{0}^x\sin(\sin(t))dt$ $ $[0,+\infty)$. Tenga en cuenta que $f(t):=\sin(\sin(t))$ es una función periódica continua de período $2\pi$ y $f(x+\pi)=-f(x)$.

Luego, por integración por las piezas, % $ de $$\int_0^\infty \frac{\sin(\sin(x))}{x}dx=\left[\frac{F(x)}{x}\right]_0^{+\infty}+\int_0^\infty \frac{F(x)}{x^2}dx=\int0^\infty \frac{F(x)}{x^2}dx$donde $\lim{x\to 0^+}\frac{F(x)}{x}=\lim_{x\to 0^+}\frac{\sin(\sin(x))}{1}=0$ y el integral de la derecha es absolutamente integrable.

Answer 2

Cumple con la función $f(x):=\sin(\sin x)$ $f(x+\pi)=-f(x)$, $>f(\pi-x)=f(x)$, y

$${2\over\pi}\sin x\leq f(x)\leq \sin x\qquad\left(0\leq x\leq{\pi\over2}\right)\ .$ $ Su gráfico por lo tanto se parece a la gráfica de un seno normal, y tenemos %#% $ de #% por lo tanto es imposible que la integral $$\int_a^{a+\pi} \bigl|f(x)\bigr|>dx=2\int_0^{\pi/2}f(x)>dx\geq{2\over\pi}\qquad\forall a\geq0\ .$ $ es finito como un integral de Lebesgue. Por otro lado la incorrecta Riemann integral $$\int0^\infty{|f(x)|\over x}>dx$ $ es convergente (como la serie armónica alternancia) puesto que los números $$\lim{b\to\infty}\int_0^b{f(x)\over x}>dx$ $ forman una secuencia que es monótonamente decreciente a $$an:=\int{n\pi}^{(n+1)\pi}{|f(x)|\over x}>dx=\int_0^\pi{f(x)\over n+x}>dx$.