Primero de todo, aquí están las Definiciones 6.1, 6.2, y 6.3 en el Bebé Rudin, 3ª edición:
Definición 6.1:
Deje $[a, b]$ ser un intervalo de tiempo dado. Por una partición de $P$ $[a, b]$ nos referimos a un conjunto finito de puntos de $x_0, x_1, \ldots, x_n$, donde $$ a = x_0 \leq x_1 \leq \cdots \leq x_{n-1} \leq x_n = b.$$ Escribimos $$ \Delta x_i = x_i - x_{i-1} \qquad (i = 1, \ldots, n). $$ Ahora supongamos $f$ es una limitada función real definida en $[a, b]$. Correspondiente a cada una de las particiones $P$ $[a, b]$ ponemos $$ \begin{align} M_i &= \sup f(x) \qquad (x_{i-1} \leq x \leq x_i), \\ m_i &= \inf f(x) \qquad (x_{i-1} \leq x \leq x_i), \\ U(P, f) &= \sum_{i=1}^n M_i \Delta x_i, \\ L(P, f) &= \sum_{i=1}^n m_i \Delta x_i, \end{align} $$ y, finalmente, $$ \begin{align} \tag{1} \overline{\int}_a^b f dx &= \inf U(P, f), \\ \tag{2} \underline{\int}_a^b f dx &= \sup L(P, f), \end{align} $$ donde el $\inf$ e las $\sup$ se han tomado todas las particiones $P$$[a, b]$. La izquierda de los miembros de (1) y (2) se llama el superior y el inferior de las integrales de Riemann de $f$$[a, b]$, respectivamente.
Si en la parte superior e inferior de las integrales son iguales, es decir que $f$ es Riemann-integrable en $[a, b]$, escribimos $f \in \mathscr{R}$ (es decir, $\mathscr{R}$ denota el conjunto de Riemann-integrable funciones), y se denota el valor común de (1) y (2) por $$ \tag{3} \int_a^b f dx, $$ o por $$ \tag{4} \int_a^b f(x) dx. $$ Esta es la integral de Riemann de $f$$[a, b]$. Desde $f$ es acotado, existen dos números, $m$$M$, de tal manera que $$ m \leq f(x) \leq M \qquad (a \leq x \leq b). $$ Por lo tanto, para cada $P$, $$ m(b-a) \leq L(P, f) \leq U(P, f) \leq M (b-a), $$ de modo que los números $L(P, f)$ $U(P, f)$ forma un conjunto acotado. Esto muestra que la parte superior e inferior de las integrales definidas para cada delimitada la función $f$. . . .
Definición 6.2:
Deje $\alpha$ ser un monótonamente creciente de la función en $[a, b]$ (desde $\alpha(a)$ $\alpha(b)$ son finitos, se deduce que el $\alpha$ está delimitada en $[a, b]$). Correspondiente a cada una de las particiones $P$$[a, b]$, podemos escribir $$ \Delta \alpha_i = \alpha \left( x_i \right) - \alpha \left( x_{i-1} \right). $$ Está claro que $\Delta \alpha_i \geq 0$. Para cualquier función real $f$ que está delimitada en $[a, b]$ ponemos $$ \begin{align} U(P, f, \alpha) &= \sum_{i=1}^n M_i \Delta \alpha_i, \\ L(P, f, \alpha) &= \sum_{i=1}^n m_i \Delta \alpha_i, \end{align} $$ donde $M_i$, $m_i$ tiene el mismo significado que en la Definición 6.1, y definir $$ \begin{align} \tag{5} \overline{\int}_a^b f d \alpha = \inf U(P, f, \alpha), \\ \tag{6} \underline{\int}_a^b f d \alpha = \sup L(P, f, \alpha), \end{align} $$ el $\inf$ $\sup$ nuevo ser tomado todas las particiones. Si los miembros de la izquierda de (5) y (6) son iguales, se denota su valor común por $$ \tag{7} \int_a^b f d \alpha $$ o a veces por $$ \tag{8} \int_a^b f(x) d \alpha(x). $$ Esta es la de Riemann-Stieltjes integral (o simplemente la integral de Stieltjes) de $f$ con respecto al $\alpha$,$[a, b]$.
Si (7) existe, es decir, si (5) y (6) son iguales, es decir que $f$ es integrable con respecto a $\alpha$, en el sentido de Riemann, y escribir $f \in \mathscr{R}(\alpha)$.
Tomando $\alpha(x) = x$, la integral de Riemann, es visto como un caso especial de la de Riemann-Stieltjes integral. . . .
Definición 6.3:
Podemos decir que la partición de $P^*$ es un refinamiento de [partición] $P$ si $P^* \supset P$ (es decir, si cada punto de $P$ es también un punto de $P^*$). Dadas dos particiones $P_1$$P_2$, podemos decir que el $P^*$ es su común refinamiento si $P^* = P_1 \cup P_2$.
Ahora el uso de esta maquinaria ¿cómo podemos evaluar la integral $$ \int_0^1 x^2 \ \mathrm{d} x? $$
La próxima, aquí son Teoremas 6.4, 6.8 y 6.9:
Teorema 6.4:
Si $P^*$ es un refinamiento de la $P$, luego $$ \tag{9} L(P, f, \alpha) \leq L \left( P^*, f, \alpha \right) $$ y $$ \tag{10} U \left( P^*, f, \alpha \right) \leq U( P, f, \alpha). $$
Y, por lo que tenemos $$ L(P, f, \alpha) \leq L \left( P^*, f, \alpha \right) \leq U \left( P^*, f, \alpha \right) \leq U( P, f, \alpha). $$
Teorema 6.6:
$f \in \mathscr{R}(\alpha)$ $[a, b]$ si y sólo si para cada a $\varepsilon > 0$ existe una partición de $P$ tal que $$ U(P, f, \alpha ) - L( P, f, \alpha ) < \varepsilon. $$
Teorema 6.8:
Si $f$ es continua en a$[a, b]$,$f \in \mathscr{R}(\alpha)$$[a, b]$.
Teorema 6.9:
Si $f$ es monótona en $[a, b]$ $\alpha$ es continua en a$[a, b]$,$f \in \mathscr{R}(\alpha)$. (Todavía estamos a asumir, por supuesto, que $\alpha$ es monótona.)
La función de $f(x) = x^2$ es de curso continuo, así como monotónica en el intervalo de $[0, 1]$. Por lo tanto por el Teorema 6.8 o Teorema 6.9, nuestra integral existe, por supuesto.
Mi Intento:
Deje $$P = \left\{ x_0, x_1, \ldots, x_{n-1}, x_n \right\}, $$ donde $$ 0 = x_0 < x_1 < \ldots < x_{n-1} < x_n, $$ ser una partición de $[0, 1]$. Entonces, como nuestra función $f$ es sttictly aumento en $[0, 1]$, por lo que nos encontramos con que, para cada una de las $i = 1, \ldots, n$, tenemos $$ m_i = f \left( x_{i-1} \right) = x_{i-1}^2 \qquad \mbox{ and } \qquad M_i = f \left( x_i \right) = x_i^2. $$ [Véase la Definición de 6.1 por encima de la notación.] Por lo tanto $$ L(P, f) = \sum_{i=1}^n x_{i-1}^2 \left( x_i - x_{i-1} \right) \qquad \mbox{ and } \qquad U(P, f) = \sum_{i=1}^n x_{i}^2 \left( x_i - x_{i-1} \right). $$
Ahora, a partir de estas dos fórmulas, podemos calcular las cantidades en (1) y (2) en la Definición 6.1 anterior? No tengo idea de cómo podemos.
Sin embargo, podemos hacer el siguiente truco:
Pongamos $$ h \colon= \min \left\{ \ \Delta x_1, \ldots, \Delta x_n \ \right\}. $$ Luego, por supuesto, esto $h$ satisface $$ 0 < h \leq 1, $$ a partir de la cual obtenemos $$ \frac{1}{h} \geq 1. $$ Ahora vamos a poner $$ k = \left\lfloor \frac{1}{h} \right\rfloor + 1. $$ Esta $k$ es, por supuesto, un número natural, y también tenemos la desigualdad $$ k-1 \leq \frac{1}{h} < k.$$ Ahora vamos a $P^\prime$ ser la partición de $[0, 1]$ dada por $$ P^\prime \colon= \left\{ \ 0, \frac{1}{k}, \ldots, \frac{k-1}{k}, 1 \ \right\}, $$ y vamos a $$ P^* \colon= P \cup P^\prime. $$ Entonces por el Teorema 6.4 en el Bebé Rudin, tenemos los siguientes dos conjuntos de desigualdades: $$ L(P, f, \alpha) \leq L \left( P^*, f, \alpha \right) \leq U \left( P^*, f, \alpha \right) \leq U( P, f, \alpha). $$ Y, $$ L \left( P^\prime, f, \alpha \right) \leq L \left( P^*, f, \alpha \right) \leq U \left( P^*, f, \alpha \right) \leq U\left( P^\prime, f, \alpha \right). $$
Ahora, para la partición de $P^\prime$, podemos calcular $$ L \left( P^\prime, f, \alpha \right) = \frac{1}{k} \sum_{i=0 }^{n-1} \left( \frac{i}{k} \right)^2 = \frac{1}{k^3} \sum_{i=1}^{n-1} i^2 = \frac{ (k-1) (2k-1 ) }{6k^2} = \frac{1}{6} \left( 1 - \frac{1}{k} \right) \left( 2 - \frac{1}{k} \right), $$ y $$ U \left( P^\prime, f, \alpha \right) = \frac{1}{k} \sum_{i=1 }^n \left( \frac{i}{k} \right)^2 = \frac{1}{k^3} \sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{ (k+1) (2k + 1 ) }{6k^2} = \frac{1}{6} \left( 1 + \frac{1}{k} \right) \left( 2 + \frac{1}{k} \right). $$ Y, el supremum de todas las sumas inferiores a $L \left( P^\prime, f, \alpha \right)$ y el infimum de toda la zona superior sumas $U \left( P^\prime, f, \alpha \right)$ obtenido de esta manera es igual a $1/3$.
Cómo probar desde aquí (o mediante algún otro dispositivo) que $$ \int_0^1 x^2 \ \mathrm{d} x = \frac{1}{3}?$$
