Irracionalidad de$\sqrt{2m}$

Question

Tengo este problema:

Si $\sqrt{m}$ es irracional, y $m$ es impar, entonces:

Es $\sqrt{2m}$ siempre irracional ?

Mi pensamiento fue:

Tengo un $m$ número, que puede ser de la forma $(2n \pm 1)$, que es el cuadrado es irracional.

Para encontrar un contraejemplo, yo necesito esto:

$2m = x^2$,

entonces necesito un entero, que tienen un perfecto cuadrado, dividido en $2$ es un número impar, que es igual a:

Permite a $x$ cualquier entero:

$\frac{x^2}{2} = k$

A continuación, $k$ debe ser un número entero, ya que es divisible por 2 y debe ser un número de la forma $(2n \pm1)$ que es $m$.

Con estas conclusiones, puedo reforma de mi problema:

Hay un cuadrado perfecto, que es divisible por $2$, y este la división es un número impar?

Yo no pido esto directamente, porque puede haber un enfoque más sencillo, pero aún de esta forma parece muy interesante para mí.

PS: yo lo he probado en la programación entre el $[1, 1000]$ y no es cuadrado perfecto, con estas características.

Answer 1

Supongamos que $a^2 = 2k$ % impar $k$.

Si es impar, $a$ $a^2$ es demasiado raro, así no puede ser el caso.

Sin embargo si $a$ es incluso, $a=2n$ $n$ y $(2n)^2 = 4n^2 = 2k$, que $k=2n^2$ y no era extraño después de todo. Así que esto también es imposible.

Puesto que ni uniformes ni impares números enteros pueden ser raíces de su cuadrado perfecto, no puede existir.

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En general uno puede probar si un primer $p$ divide un cuadrado perfecto $a^2$, y $p$ también divide $a^2/p$.

Answer 2

Vamos a tomar la ruta escénica. Recuerde que $\sqrt{ab} = \sqrt a \sqrt b$. Esto significa que $\sqrt{2m} = \sqrt 2 \sqrt m$. Por lo $\sqrt{2m}$ es el producto de dos números irracionales. No obstante, puede ser un número racional, aunque. Bueno, lo siento, que más de un callejón sin salida de una ruta escénica.

Usted dice que usted está buscando para $2m = x^2$ donde $x$ es un número entero. Claramente $x$ debe ser par. Y resulta que $m$ también debe ser aún, debido a que todas las plazas sean divisibles por 4, pero esto contradice su afirmación de que los $m$ es impar.

O ¿qué pasa si en lugar de $m$ es un múltiplo de a$\sqrt 2$, pero no de 2? A continuación, $m$ no es un entero regular (aunque es un algebraicas entero) y tampoco es $x$. Pero $2 \sqrt 2$ no es un entero, en el sentido usual de la palabra.

O lo si $m$ es simplemente la mitad de $\sqrt{2m}$? Por ejemplo, supongamos que el 6 es un cuadrado. A continuación, en $2m = x^2$, $$m = \frac{\sqrt 6}{2}.$$ From this it follows that $$m^2 = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}.$$

Podemos cortar esta cosa de mil maneras diferentes, todos ellos se entregan el número que usted está buscando, porque no existen para ser encontrado. Ninguna cantidad de fuerza bruta de los números puede encontrar lo que no existe.

Answer 3

Que es equivalente a: no hay números de cuadrados de la forma $2m$, donde $m$ es impar.

Prueba: Tome cualquier número $x$, si es impar entonces $x^2$ es impar. Si lo es, es divisible por $x^2$ $4$. Eso significa que si $2m = x^2$, $m$ debe ser divisible por $2$, que contradice la declaración $m$ impares.

Answer 4

Si $2m $ es un cuadrado perfecto,

$$2m=n^2=(2^{a_1}3^{a_2}5^{a_3}...p^{a_k})^2$$

así $$a_1\ge 1$ $ y

$$m=2 (2^{a_1-1}3^{a_2}...p^{a_k})^2$ $ es uniforme.