¿Pueden tener dos modelos diferentes de la aritmética no comparables vistas de la aritmética de peano?

Question

Para un modelo determinado de aritmética $M$, decimos que los modelos vista de aritmética de peano, $V(M)$, es ${\phi : M \models (PA \vdash \phi) }$.

Por ejemplo la vista del modelo estándar es ${\phi : PA \vdash \phi }$. Por otra parte, para cualquier modelo $X$ $PA + \lnot Con(PA)$ $V(X)$ es el conjunto de todas las declaraciones en la aritmética. Modelo $Y$, $PA + Con(PA) + \lnot Con(ZFC)$, $(ZFC \vdash 0=1) \in V(Y)$ $0=1 \notin V(Y)$. Así $V(\text{standard model}) \subset V(Y) \subset V(X)$.

Podemos tener dos modelos, $M$ y $M'$, de la aritmética (que son modelos de aritmética de peano) que $V(M) \nsubseteq V(M')$ y $V(M') \nsubseteq V(M)$.

Answer 1

Primero de todo, yo creo que usted podría estar interesado en un papel por Kikuchi y Kurahashi, "Ilusorio Modelos de la Aritmética de Peano". Explorar preguntas relacionadas con detalle en ese papel. En su notación, lo que ustedes llaman "V(M)" llaman a $\mathrm{Thm}_{\mathsf{PA}}(M)$.

Vamos en primer lugar observamos que si $M \models \lnot \mathrm{Con}(\mathsf{PA})$, $\mathrm{Thm}_{\mathsf{PA}}(M)$ contendrá todas las frases en el idioma. Se refieren a estos modelos como "loco", y de los modelos de $\mathrm{Con}(\mathsf{PA})$ "sano". Así que la verdadera pregunta aquí es si, dado cuerda modelos de $M$$N$, los conjuntos de $\mathrm{Thm}_{\mathsf{PA}}(M)$ $\mathrm{Thm}_{\mathsf{PA}}(N)$ son necesariamente linealmente ordenado. La respuesta es no; de hecho, el principal resultado con respecto a este en su papel realmente muestra que la familia $\mathcal{T} = \{ \mathrm{Thm}_{\mathsf{PA}}(M) : M$ está cuerdo $ \}$ tiene cardinalidad $2^{\aleph_0}$.

El principal nudo detrás de conseguir estos independencia de los resultados es que el $\mathrm{Thm}_{\mathsf{PA}}(M)$ está determinado completamente por la $\Sigma_1$ teoría de la $M$. Además, dado que cualquier recursivamente enumerable de la teoría de la $T$, hay un $\Sigma_1$ declaración $\phi$ tal que $T + \phi$ $T + \lnot \phi$ son consistentes (esta es una costumbre de la incompletitud argumento, a pesar de que el uso de una versión más fuerte en el fin de conseguir que el $|\mathcal{T}| = 2^{\aleph_0}$). así que vamos a $T$ ser la teoría de la $\mathsf{PA} + \mathrm{Con}(\mathsf{PA})$, y, a continuación, se pueden encontrar dos modelos de PA que tienen diferentes $\Sigma_1$ teorías, y por lo tanto incompatible "teoremas de PA".

Recomiendo encarecidamente la lectura de ese papel como preguntar y responder a las muchas preguntas que usted podría estar interesado en.

Answer 2

En primer lugar, tenga en cuenta que si $\phi \equiv \exists x\psi(x)$ $\Sigma_1$ $M$ es un modelo de $PA$, $M \models \phi$ implica $\phi \in V(M)$. Esto es porque si $M \models \psi(n)$, $M$ es capaz de escribir $n=1+\cdots+1$ y, a continuación, probar $PA \vdash \psi(1+\cdots+1)$.

Asumir PA es consistente, y deje $A,B$ ser una forma recursiva pareja inseparable de la desunión $\Sigma_1$ subconjuntos de a $\mathbb{N}$. Construir este disjointness de manera explícita en su definición de fórmulas, de modo que usted puede demostrar que son distintos. Pretendemos que para algunos $n$, hay un par de modelos de $M_1 \models( n \in A)$$M_2 \models (n \in B)$. Dado que los conjuntos se $\Sigma_1$ y seguramente distinto, obtenemos $n\in A$ $V(M_1)$ pero no $V(M_2)$, y al revés.

Por contradicción, supongamos que para todos los $n$ no hay tal par. En particular, no existen modelos con $n \in A$, o no hay ninguno con $n \in B$. Por el Teorema de Completitud, la correspondiente fórmula es un teorema de PA. Definir un conjunto recursivo $C$ por: Si $PA \vdash n \not \in B$, puesto $n$ a $C$; y si $PA \vdash n \not \in A$, puesto $n$ en el complemento de $\bar C$. Pero, a continuación, $C$ es recursivo separador de $A$$B$, contradiciendo la elección de $A$$B$. La prueba está de más.