¿Cómo encontrar la derivada de esta función?

Question

ps

Calculé y obtuve$$f(x) = \int_0^{\cos x}t^2 \, dt$. Revisé la respuesta en el libro y lo entendí mal. Pero creo que hice esto correctamente. Usé la parte 1 de FTC para hacer esto. ¿Algunas ideas?

Answer 1

Tenga en cuenta que: $$ \begin{align} f(x) &= \int_{a(x)}^{b(x)} g(t)\,dt = G\bigl(b(x)\bigr)-G\bigl(a(x)\bigr) \\ f'(x) &= g\bigl(b(x)\bigr)\cdot b'(x)-g\bigl(a(x)\bigr)\cdot a'(x) \end {align} $$ Por lo tanto: $$ \begin{align} f(x) &= \int_0^{\cos x}t^2 \, dt=G(\cos x)-G(0) \\ f'(x)&=(\cos x)^2\cdot (\cos x)'-(0)^2\cdot 0' \\ &=\cos^2x \cdot (-\sin x) \\ &=-\cos^2x\cdot \sin x \end {align} $$

Answer 2

Si$$I=\int_a^{g(x)} f(t) \, dt$$ where $ a $ es una constante, el teorema fundamental del cálculo proporciona$$\frac{dI}{dx}=f(g(x))\, g'(x)$$ In you case where $ g (x) = \ cos (x)$ and $ f ( t) = t ^ 2 $, esto lleva a$$\frac{dI}{dx}=-\sin(x)\, \cos(x)^2$ $

Answer 3

\begin{align} y & = \int_0^{\cos x} t^2\, dt \\[10pt] y & = \int_0^u t^2 \, dt & u & = \cos x \\[10pt] \frac{dy}{du} & = u^2 & \frac{du}{dx} & = -\sin x \\[10pt] \frac{dy}{dx} & = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \\[10pt] & = u^2 \cdot(-\sin x) \\[10pt] & = (\cos x)^2(-\sin x). \end {align} Entonces su resultado es correcto.

Sin embargo, para saber si se calificó correctamente, tendríamos que ver exactamente cómo se declaró el problema. Por ejemplo, si hubo alguna instrucción permanente para que la clase mencione explícitamente la regla de la cadena cada vez que se usa, omitir hacer eso podría contar en su contra, y hay muchas otras cosas como esa que podríamos no conocer sin más información.

Answer 4

El Teorema fundamental del cálculo establece que si$$f(x) = \int_{a}^{g(x)} h(t)~{\rm d}t$ $ donde$a$ es una constante, entonces$$f'(x) = h(g(x)) \cdot g'(x)$ $ Usando esto con la integral,$f(x) = f( x)$,$g(x) = \cos x$, y $h(x) = t^2$. Ahora podemos enchufar estos valores. ps

Answer 5

El método directo:

$$f(x)=\int_0^{\cos x}t^2\,dt=\left[\frac{t^3}3\right]_0^{\cos x}=\frac13\cos^3x$$ and using the chain rule $$f'(x)=\frac13\cdot3\cos^2x(-\sin x)-0=-\sin x\cos^2x$ $ ¡así que estás en lo correcto!