Si$\int_{1}^{\infty}f\left(x\right)dx$ converge absolutamente, entonces$\int_{1}^{\infty}f^{2}\left(x\right)dx$ converge?

Question

Deje $f:[0,\infty)\to\mathbb{R}$ ser una función continua. Se me pidió para demostrar/refutar la siguiente declaración:

Si $\int_{1}^{\infty}f\left(x\right)dx$ converge absolutamente, a continuación, $\int_{1}^{\infty}f^{2}\left(x\right)dx$ converge así.

Mis pensamientos son que mi única manera de demostrar esto es, por comparación directa. Sin embargo, para que funcione necesito $f(x)\leq1$ para suficientemente grande $x$, pero $\int_{1}^{\infty}f\left(x\right)dx$ convergentes (Incluso absolutamente) no garantiza esto.

Si la afirmación es falsa agradecería una pista sobre cómo construir un contador de ejemplo, en lugar de uno sacó del aire.

Answer 1

Si $f(x)$ tiene muy estrechos picos que crecen en tamaño de manera que la suma de la zona de el $n$-th pico converge, la suma de los picos de $f^2(x)$ puede divergir.

Por ejemplo, si $f(x) = n^un $ para $n \le x \le n+n^{b} $, entonces $\int_n^{n+1} f(x) dx =n^{a-b} $ y $\int_n^{n+1} f^2(x) dx =n^{2a-b} $.

Para obtener el primer suma a converger, necesitamos $a-b < -1$ y para obtener el segunda suma a la divergencia de los necesitamos $2a-b > -1$.

Si elegimos, para algunos $c > 0$, $a-b=-1-c$ y $2a-b=-1+c$, entonces $a = 2c$ y $b=1+3c$ va a trabajar.

La elección de $c=1/4$, tenemos $a = 1/2$ y $b = 7/4$.

Para esto, $n^{a-b} =n^{-5/4} $ y la suma de estos converge, y $n^{2a-b} =n^{-3/4} $ y la suma de estos diverge.

Redondear las esquinas si no te gustan los cuadros.

Answer 2

Idea: $\ f$ es la función cero, excepto pequeños barrios alrededor de enteros positivos.

Es una idea para tal función. Observar que $f(n)=2^{n-1}$.

Vamos a llamar a la trapezoides $T_1,T_2,T_3$ y así sucesivamente.

Asegúrese de que el área debajo de la parte superior de la base de cada trapecio $T_n$$2^{-n}$. (mediante la manipulación de sus extremos)

También asegúrese de que la suma de la superficie de los lados izquierdo y derecho de cada trapecio es $2^{-n}$.

Así, el área debajo de cada trapecio es $2.2^{-n}$.

Así, la integral $\displaystyle \int_0^\infty f(x) \ \mathrm dx = \sum_{n=1}^\infty 2. 2^{-n} = 2$. $\implies f$ es absolutamente convergente.

Ahora, cuando la plaza de $f$, la altura de la parte superior de la base de cada una de las $T_n$ será elevada al cuadrado.

Por ejemplo, la altura de $T_1$$1$, la altura de $T_2$ $4$ etc.

También, la forma de los lados izquierdo y derecho de cada trapecio será diferente, pero no estamos interesados en eso.

De todos modos, el área debajo de la parte superior de la base de $T_n$$(2^{n-1})^2 \cdot 2^{-n}= 2^{n-2}$.

$\implies$ áreas bajo superior de bases de "el cuadrado de la trapecios" va a ser divergentes.

Por lo tanto $\displaystyle \int_0^\infty f^2(x) \ \mathrm dx$ es divergente.

Answer 3

Boceto: la respuesta es sí si$f$ está limitado, como habrás notado. Pero$f$ no necesita estar limitado: una forma de contraejemplo es pensar en triángulos altos y delgados marchando hacia$\infty.$ Similar al ejemplo de triángulo es un ser infinito que es bastante fácil de anotar:

ps

Answer 4

Podemos observar que en el caso de series,$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ converge, mientras que$\sum_{N=1}^\infty \frac{1}{n}$ no.

Esto inspira un poco el contraejemplo$f(x) = \frac{\sin(x)}{\sqrt{x}}$.