Mi amigo y yo discutían esto y mientras mira obviamente verdadero, no muy acertados en conseguir en cualquier lugar con él. No sé si me falta las herramientas para solucionar esto o si me estoy perdiendo algo obvio. Cualquier idea sería muy apreciada.
Respuesta
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Arnaud Mortier
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Solución parcial: si $s$ no es un entero, entonces tiene que ser trascendental.
No puede ser un número racional. De lo contrario, decir $s={p\over q}$$q>1,\gcd(p,q)=1$, y $N=2^s\in\Bbb N$ $$q\ |\ v_2(N^q)=v_2(2^{p})=p$$ lo que contradice $q>1,\gcd(p,q)=1$. Aquí $v_2$ representa el $2$-ádico el fin de la función.
Ahora desde $s$ no es un racional, se sigue de Gelfond-Schneider teorema que no puede ser una algebraica de números. De lo contrario, $2^s$ sería trascendental.
Se puede observar que hasta el momento sólo el hecho de que $2^s\in\Bbb N$ ha sido utilizado. Esta condición por sí sola no es suficiente para descartar trascendental números como fue señalado por Grant B., por ejemplo,$2^{\log_2(3)}=3$.
