Problema de la repetición: hallazgo $a_{1000}$ $a_{0}$

Question

Hola estoy atrapado en otra pregunta.

$a{0}=5$. $a{n+1}a{n} = a{n}^{2} + 1$ % Todo $n \ge 0$, determinar $\left \lfloor{a_{1000}}\right \rfloor$.

Así $a{n+1}=a{n} + \frac{1}{a_{n}}$ y, a continuación:

$a{1000}=a{0}+ \frac{1}{a{0}} + \frac{1}{a{1}} + \frac{1}{a{2}} + ... + \frac{1}{a{999}}$

y aun trataron de escribir a la relación como $a{n}^{2} - a{n+1}a_{n} + 1 = 0$ pero yo todavía no estoy en cualquier lugar. ¿Alguien sólo me puede decir qué hacer con esta relación de recurrencia, para empezar? Gracias.

Answer 1

Encuadre la relación dado $a{n+1} = a{n} + \frac{1}{an}$, obtenemos $$ a{n+1}^2 = a_n^2 + \frac{1}{an^2} + 2 \Rightarrow a{n+1}^2 > an^2 +2 $ $ e iterando obtenemos (para $n = 999$ obtenemos el lado derecho) $$ a{n+1}^2 > a0^2 + 2n + 2 \Rightarrow a{1000} > 2025 = 45^2 $ $

También, utilizando los términos (términos de $\frac{1}{ai^2} $) descuidado por la relación anterior y el hecho de que $a{n+1}^2 > 2n + 27 > 2n + 2$o % solo $ an^2 > 2n$, $$ a{n+1}^2 = 2025 + \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{a_i}^2

Sigue que $\lfloor a_{1000} \rfloor = 45$.