Demostrar o refutar que, para cualquier $n \in \mathbb{N_+}$ existe $a,b \in \mathbb{N_+} $ tal que $\frac{a^2+b}{a+b^2}=n.$

Question

Problema

Demostrar o refutar que, para cualquier $n \in \mathbb{N_+}$ , existe $a,b \in \mathbb{N_+} $ tal que $$\frac{a^2+b}{a+b^2}=n.$$

Mi pensamiento

Supongamos que la afirmación es cierta. Entonces, la igualdad es equivalente a que

$$a^2-na+b-nb^2=0.$$

Considérela como una ecuación cuadrática con respecto a $a$ .entonces $$a=\dfrac{n \pm \sqrt{n^2+4nb^2-4b}}{2}.$$ Así, $n^2+4nb^2-4b$ debe ser un número cuadrado. Sea $$n^2+4nb^2-4b=k^2,k \in \mathbb{N_+}.$$ ¿Cómo seguir con esto? ¿Puede funcionar?

P.D.

La afirmación parece ser cierta. Aquí están las partes de los ejemplos de verificación: \begin{array}{r|r|r} n&a&b \\ \hline 1&1&1\\ 2&5&3\\ 3&5&2\\ 4&10&4\\ 5&27&11\\ 6&69&27\\ \vdots&\vdots&\vdots \end{array}

Además, la ecuación podría reescribirse como

$$n(2a-n)^2-(2nb-1)^2=n^3-1,$$

que es un $\textbf{ Pell-like equation}$ . ¿Esto ayudará?

Answer 1

Prueba para todos los no cuadráticos $n$

Lema: Ecuación de Pell $x^2-n y^2 = 1$ con $n$ al no ser un cuadrado perfecto, tiene infinitas soluciones tales que $x$ es impar, $y$ es par y $x\equiv1$ (mod $2n$ ).

Prueba: Es un hecho bien conocido que la ecuación de Pell con no cuadrática $n$ tiene un número inifinito de soluciones. Escoge una solución cualquiera $(x_1,y_1)$ . Cabe destacar que $x_1$ y $y_1$ debe ser coprima, así como $x_1$ y $n$ .

Ahora calcula:

$$x_2=x_1^2+ny_1^2,\quad y_2=2x_1y_1$$

Se puede demostrar fácilmente que $(x_2,y_2)$ es también una solución de la misma ecuación de Pell. Evidentemente, $y_2$ está en paz.

Si sustituye $x_1^2=ny_1^2+1$ en la expresión para $x_2$ lo consigues:

$$x_2=1+2ny_1^2\implies x_2\equiv1\space (\text{mod}\space 2n)$$

Esto también demuestra que $x_2$ tiene que ser impar (lo que tiene mucho sentido porque las soluciones de la ecuación de Pell son siempre coprimas y $y_2$ es par).

Se pueden construir más soluciones de la ecuación de Pell de la misma manera y todas satisfacen los criterios del lema. Por lo tanto, no hay una sola solución de este tipo. En realidad hay infinitas.

Fin de la demostración del lema

Volvemos a la ecuación original (mismo enfoque que AQUÍ ) :

$$\frac{a^2+b}{a+b^2}=n$$

se puede reescribir como

$$u^2-nv^2=1-n^3 \tag1$$

donde:

$$u=2nb-1,\quad v=2a-n$$

Tome $x,y$ tal que:

$$x^2-ny^2=1\tag2$$

Puede demostrar fácilmente que $(-x+y n^2)$ y $(-y+nx)$ satisfacer (1):

\begin{align*}(-x+ yn^2)^2-n(-y+nx)^2&=x^2-2xyn^2+y^2n^4-ny^2+2xyn^2-x^2n^3\\&=(x^2-ny^2)+n^3(ny^2-x^2)\\&=1-n^3.\end{align*}

Esto demuestra que:

$$u=-x+yn^2=2nb-1$$

$$v=-y+xn=2a-n$$

...representan una solución de $(1)$ .

Por lo tanto,

$$a=\frac{(x+1)n-y}{2},\space b=\frac{yn^2-(x-1)}{2n}.\tag3$$

Según nuestro lema La ecuación de Pell tiene infinitas soluciones $x,y$ tal que $x$ es impar, $y$ es par y $x\equiv1$ (mod $2n$ ). Reemplaza estas soluciones en (3) y obviamente obtendrás infinitos valores enteros para $a,b$ .

Fin de la prueba para todos los no cuadrados $n$ .

El siguiente script simple de Mathematica generará una sola $a,b$ para un tamaño no cuadrado $n$ muy rápido (sigue la prueba, palabra por palabra):

ABPair[n_] := Module[
   {x, y, a, b, a1, b1, a2, b2},
   pellSolutions = Solve[x^2 - n  y^2 == 1, {x, y}, Integers] /. C[1] -> 1;
   pellSolutions = {x, y} /. pellSolutions;
   {a1, b1} = First[Select[pellSolutions, #[[1]] > 0 && #[[2]] > 0 &, 1]];
   {a2, b2} = If[Mod[a1, 2 n] == 1 && Mod[b1, 2] == 0, {a1, b1}, {a1^2 + n b1^2, 2 a1 b1}];
   a = (n (a2 + 1) - b2)/2;
   b = (b2 n^2 - a2 + 1)/(2 n);
   {a, b, (a^2 + b)/(b^2 + a)}
];

Por ejemplo:

ABPair[5613]
{60584278414870816497213, 808653403020126409200, 5613}

El tercer número es sólo una comprobación de que los números calculados son válidos. En otras palabras:

$$\frac{60584278414870816497213^2+808653403020126409200}{60584278414870816497213+808653403020126409200^2}=5613$$

El script es rápido como un rayo incluso para $n$ con 12 dígitos:

ABPair[561044335534]

Ver la solución de Sil para la cuadrática $n$ . Caso cerrado :)

Answer 2

Solución para los no cuadrados $n$ se proporciona en la respuesta de @Oldboy y en las preguntas vinculadas. Esta respuesta trata el caso del cuadrado $n$ .

Caso 1: $n=k^2,k \equiv 0 \pmod {2}$

Elija \begin{align} a=\frac{k^2(k^3+2)}{4}, b=\frac{k^4}{4}. \end{align}

Las condiciones implican que $k^2 \equiv 0 \pmod {4}$ y por eso ambos $a$ y $b$ son números enteros. Mediante una manipulación algebraica podemos demostrar que $(a^2+b)/(b^2+a)=k^2=n$ (es bastante técnico).

Caso 2: $n=k^2,k \equiv 1 \pmod {2}$

Elija

\begin{align} a=\frac{(k^2+1)(k^2-k+2)}{4}, b=\frac{(k-1)(k^2+1)}{4}. \end{align}

Aquí $2 \mid k^2+1$ y $2 \mid k^2-k+2$ implica $a$ es un número entero y de forma similar $2 \mid k-1$ , $2 \mid k^2+1$ para $b$ . De nuevo se puede comprobar que $(a^2+b)/(b^2+a)=k^2=n$ .

Este resultado se obtiene siguiendo sin pensar la solución de la ecuación diofantina cuadrática en https://www.alpertron.com.ar/QUAD.HTM . Básicamente para el cuadrado $n$ y nuestra ecuación el sitio nos instruye a encontrar $(X-\sqrt{n}Y)(X+\sqrt{n}Y)=4n(n^3-1)$ tal que $4n \mid Y+2$ ( $2$ que se calcula allí como $\beta$ y $4n$ siendo un determinante). Así que el problema es esencialmente mirar a los divisores $d$ de $4n(n^3-1)$ que satisfacen los criterios de divisibilidad anteriores. Para $n=k^2$ la factorización es $2\cdot2\cdot(k-1)k^2(k+1)(k^2-k+1)(k^2+k+1)$ (no en los primos, pero afortunadamente esto es suficiente). Así que probando combinaciones de estos factores (usando Maple, por ejemplo), resulta que las elecciones de $d=2k$ y $d=2k(k+1)$ trabajo (para incluso y impar $k$ respectivamente). Esas opciones al sustituir todo el camino de vuelta se simplifican a los casos descritos anteriormente, pero es demasiado largo/técnico para llegar allí...

Answer 3

Una ecuación mejor para resolver en General.

$$aX^2+bX=cY^2+dY$$

Como ya se ha mencionado, la tarea se reduce a algún equivalente de la ecuación de Pell. En realidad se reduce a esta forma.

$$p^2-acs^2=\pm1$$

Solución que escribimos.

$$X=\pm{s(dp+cbs)}$$

$$Y=\pm{s(bp+ads)}$$

O así.

$$X=\frac{\mp1}{a-c}((b-d)p^2-(2cb-(c+a)d)ps+c(cb-ad)s^2)$$

$$Y=\frac{\mp1}{a-c}((b-d)p^2-((a+c)b-2ad)ps+a(cb-ad)s^2)$$