Digamos que estoy en $SO(3)$ . En el espacio tangencial de la identidad defino un producto interno, es decir. $$g_{0} \left (X,\,Y \right )= \frac {1}{2} \mbox {Tr} \left (X^{T}Y \right ),$$ Luego defino una métrica de la variante izquierda definida para cada punto $R$ en $SO(3)$ a través de la acción de la izquierda, es decir. $$g \left (X,\,Y \right )=g_{0} \left (L_{R^{-1}*} \left (X \right ),\,L_{R^{-1}*} \left (Y \right ) \right ).$$ Está claro que se ha dejado invariable por la construcción. Ahora digamos que tomo la siguiente base $ \left\ { \left (E_{1} \right )_{R},..., \left (E_{n} \right )_{R} \right\ } $ para el punto del espacio tangencial en $R$ donde $$ \left (E_{1} \right )_{R}=L_{R*} \left ( \left (E_{1} \right )_{ \mathbb {1}} \right )$$ donde por supuesto $ \left\ { \left (E_{1} \right )_{ \mathbb {1}},..., \left (E_{n} \right )_{ \mathbb {1}} \right\ } $ es la base canónica de la identidad. Ahora debería ser que $$g \left ( \left (E_{i} \right )_{R},\, \left (E_{j} \right )_{R} \right ) = \frac {1}{2} \mbox {Tr} \left ( \left (R \left (E_{i} \right )_{ \mathbb {1}} \right )^{T} \left (R^{-1} \right )^{T} \left (R^{-1} \right ) \left (R \left (E_{j} \right )_{ \mathbb {1}} \right ) \right )= g \left ( \left (E_{i} \right )_{ \mathbb {1}},\, \left (E_{j} \right )_{ \mathbb {1}} \right ),$$ De modo que el coeficiente de la métrica en la base dada por $ \left\ { \left (E_{1} \right )_{R},..., \left (E_{n} \right )_{R} \right\ }$ son constantes. Siendo que los símbolos de Christoffel son idénticos a cero y tengo que $ \nabla_ {X}Y$ no es otra cosa que la derivada parcial en el punto.
Definiendo la torsión $$T \left (X,Y \right )= \nabla_ {X}Y- \nabla_ {Y}X- \left [X,Y \right ].$$
Entonces tengo $$T \left (X,Y \right )=- \left [X,Y \right ],$$ y por lo tanto en la base $ \left\ { \left (E_{1} \right )_{R},..., \left (E_{n} \right )_{R} \right\ }$ el coeficiente del tensor de torsión son $$T_{bc}^{a}=- \epsilon_ {bc}^{a},$$ donde en general, ya que funciona para cada Grupo de Lie, el coeficiente debe ser la estructura constante del álgebra de Lie para la base específica elegida. ¿Este razonamiento es correcto? ¿Qué me equivoqué? Encontré en un libro la misma construcción para encontrar la curvatura de la conexión Levi-Civita y así -ya que la conexión Levi-Civita tiene cero torsión- estoy bastante seguro de que he hecho algo mal en algún lugar....
