En Concrete Mathematics , los autores afirman que no existe una forma cerrada para$$\sum_{k\le K}{n\choose k}.$ $. Esto se indica poco después de la declaración de (5.17) en la sección 5.1 (2da edición del libro).
¿Cómo saben que esto es verdad?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
El siguiente párrafo del libro dice:
"Cerca del final de este capítulo, vamos a estudiar un método por el cual es posible determinar si existe o no una forma cerrada para las sumas parciales de una serie que implican los coeficientes binomiales, de una manera bastante general de la configuración. Este método es capaz de descubrir las identidades de (5.16) y (5.18), y también nos dirá que (5.17) es un callejón sin salida."
Como Byron señalado, la respuesta específica es en P228. El método se llama Gosper del algoritmo. La siguiente sección le informa acerca de Zeilberger del algoritmo, que puede hacer más. El libro "A = B", está disponible gratuitamente en línea y es todo acerca de tales matemáticas, incluyendo la más poderosa cosas de lo que se muestra en "Concreto de las Matemáticas".
nczksv
Puntos
163
Por cada entero positivo$n$,
ps
Tenga en cuenta que$$\sum_{k\le K}{n\choose k}=\left\lfloor\frac{(4^{K+1}\cdot(1+4^{-n}))^{n}}{4^{n}-1}-4^{n}\cdot\left\lfloor\frac{(4^{K}\cdot(1+4^{-n}))^{n}}{4^{n}-1} \right\rfloor\right\rfloor$ $.
Por lo tanto,$$\sum_{k\le K}{n\choose k}=[x^{0}]\left(\frac{(1+x)^n}{x^{K}(1-x)}\right)$ $.
