Calcular

Question

Calcular $$ \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\;\left (\frac{x^{2}}{1+4x+3x^{2}-4x^{3}-2x^{4}+2x^{5}+x^{6}}\right) \;dx$$

La respuesta dada es $\pi$. ¿Cómo se calcula?

Answer 1

Deje $F(x) = \frac{x^2}{P(x)}$ donde $$P(x) = x^6+2x^5-2x^4-4x^3+3x^2+4x+1 = (x^3+x^2-2x-1)^2 + (x^2+x)^2$$

Cambio de variable a $u = \frac{1}{x+1} \iff x = \frac{1}{u}-1$. La integral en la mano se convierte en

$$\int_{-\infty}^\infty F(x) dx = \left(\int_{-\infty}^{-1^{-}} + \int_{-1^{+}}^\infty\right) F(x) dx = \left(\int_{0^{-}}^{-\infty} + \int_{+\infty}^{0^{+}}\right) F\left(\frac{1}{u} - 1\right)\left(-\frac{du}{u^2}\right)\\ = \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{u^2} F\left(\frac{1}{u}-1\right) du $$ Por sustitución directa, tenemos $$\frac{1}{u^2}F\left(\frac{1}{u}-1\right) = \frac{(u^2-u)^2}{u^6-2u^5-2u^4+4u^3+3u^2-4u+1} = \frac{(u^2-u)^2}{(u^3-u^2-2u+1)^2+(u^2-u)^2}$$ Aviso la función definida por $$g(u) \stackrel{def}{=} \frac{u^3-u^2-2u+1}{u^2-u} = u - \frac{1}{u}-\frac{1}{u-1}$$ tiene la forma donde Glasser Maestro del Teorema se aplica, se consigue

$$\int_{-\infty}^\infty F(x) dx = \int_{-\infty}^\infty \frac{du}{g(u)^2 + 1} = \int_{-\infty}^\infty \frac{dx}{x^2+1} = \pi $$

NOTA

Por favor, tenga en cuenta que la declaración sobre Glasser Maestro del teorema en el enlace de arriba es un poco apagado. El coeficiente de $|\alpha|$ delante de $x$ hay necesidad de ser $1$. De lo contrario, habrá un extra de factor de escala en lado derecho de la identidad. En caso de duda, por favor consultar el documento original por Glasser,

Glasser, M. L. "Una Notable Propiedad de las Integrales Definidas." De matemáticas. Comput. 40, 561-563, 1983.

y una copia electrónica de este documento se puede encontrar aquí.

Answer 2

Más de una pista, pero podría funcionar:

El uso de la fórmula

$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{l (x +a)+ c}{(x+a)^2 + b^2}= \frac{c \pi}{b}$$

si $b>0$. Escribir $$\frac{x^{2}}{1+4x+3x^{2}-4x^{3}-2x^{4}+2x^{5}+x^{6}} = \sum_{k=1}^3 \frac{l_k (x +a_k)+ c_k}{(x+a_k)^2 + b_k^2}$$

donde el $l_k$, $a_k$, $b_k$, $c_k$ satisfacer a algunos (simétrica) de las igualdades.

Demostrar que estas igualdades implican $\sum_{k=1}^3 \frac{c_k}{b_k} = 1$

Esto podría no ser desesperado con algún software. Uno podría demostrar que al menos una de las expresiones de $\sum_{k=1}^3 \pm\frac{c_k}{b_k} - 1$ es igual a cero, o lo que es equivalente, su producto. Ahora bien, esta es una expresión algebraica cosa que podría ser mostrar a seguir a partir de las ecuaciones para los coeficientes. Como para mostrar que el uno con todos los $+$ es igual a $1$, algunas aproximaciones sería útil, por ejemplo como los de la respuesta de @Dr. Sonnhard Graubner:

${\bf Added:}$ Sólo para ver lo que ocurre con otros casos, el modificado ligeramente integral $$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x^{2}}{1+4x+4x^{2}-4x^{3}-2x^{4}+2x^{5}+x^{6}}=2 \pi \sqrt{ t}=1.442791771994468\ldots$$ donde $t$ es la raíz de la ecuación

$$(2^{26}\cdot53^6\cdot419^6)t^{10}-714086275692025123245183700303872 t^9+17223872258514797331184452894720 t^8-95944433146175550843118419968 t^7+1052704800953003893513568256 t^6-112701726213711713166176256 t^5+2130836339803327583245568 t^4-5118952508328476790656 t^3-21564414502323395600 t^2-1183162373726451992 t+45434497^2 =0 $$ and $t \aprox 0.0527288$

Todas estas integrales se $\pi \times $ algunos algebraica de números que puede ser, en principio determinado.