Tengo un poco de confusión con la definición de mi texto se me brinda para un vector tangente.
Dado un colector $M$, es el primero afirmó que para definir un vector tangente, en una curva $c:(a,b) \rightarrow M$, $a < 0 < b$, y una función suave $f : M \rightarrow \mathbb{R}$ son necesarios. Con $c$$f$, la derivada direccional de una función de $f(c(t))$ a lo largo de $c(t)$ $t = 0$ es $$\frac{\text{d}f(c(t))}{\text{d}t} \bigg|_{t = 0}.$$ Dada una tabla de $(U,\phi)$ tal que $c(0) = p \in U$, la derivada direccional en términos de coordenadas locales se convierte en $$\left(\frac{\partial f\phi^{-1}(x)}{\partial x^\mu}\right) \left(\frac{\text{d}x^\mu(c(t))}{\text{d}t}\right)\Bigg|_{t=0}.$$
A continuación, el texto establece que $\text{d}f(c(t))/\text{d}t|_{t=0}$ es obtenido mediante la aplicación de $X$ $f$donde $$X = X^\mu \left(\frac{\partial}{\partial x^\mu}\right) \quad X^\mu = \frac{\text{d}x^\mu(c(t))}{\text{d}t}\Bigg|_{t=0}.$$ Después de lo cual se define $X$ como el vector tangente a $M$ $p = c(0).$
El bit me gustaría claridad en es $\mu$. Sé que si $M$ $m$ dimensiones del colector, entonces las coordenadas local de $p$$\phi(p) = x = (x^1,\dots,x^m)$$1 \leq \mu \leq m$. Es $X$ realmente $$X = \left(X^1 \left(\frac{\partial}{\partial x^1}\right),\dots,X^m \left(\frac{\partial}{\partial x^m}\right)\right),$$ y $X$ como se define es una manera abreviada de escribir eso? El único conflicto que tengo con esta idea, aunque se que $f$ mapas a$\mathbb{R}$, por lo que $$\frac{\text{d}f(c(t))}{\text{d}t} \bigg|_{t = 0}$$ sólo debe asignar un único valor. Así que es una sola $\mu$ elegido? A alguien podría ser capaz de darme una claridad sobre esto.