Integral con distribuciones normales

Question

Sé que la siguiente igualdad es verdadera para cualquier $a$ y $\sigma$ (Lo he resuelto numéricamente):

$$\int\nolimits_{-\infty}^{+\infty}\Phi\left(\frac{a-x}{\sigma}\right)\frac1{\sigma} \phi\left(\frac{x-a}{\sigma}\right)\mathrm dx=\frac12$$

Dónde $\Phi$ y $\phi$ denotan, respectivamente, la FCD y la FDP de la distribución normal estándar, $a$ es un número real cualquiera, y $\sigma$ es un número real positivo.

Lo he intentado durante un tiempo pero soy incapaz de probarlo. ¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

NB : A lo largo de lo que sigue, denotamos la función de densidad normal estándar por $\varphi(x) = (2\pi)^{-1/2} \exp(-\frac{1}{2} x^2)$ y su función de distribución acumulativa por $\Phi(x)$ .

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Método 1 : Evita el cálculo.

Esto es una consecuencia de un resultado mucho más general y, de hecho, no tiene nada que ver con la distribución normal. He aquí una versión ligeramente simplificada.

Dejemos que $F$ sea una función de distribución estrictamente creciente en algún intervalo $(a,b)$ tal que $F(a) = 0$ y $F(b) = 1$ . Permitimos $a = -\infty$ y $b=\infty$ para que podamos manejar el caso en el que $F$ se define en toda la línea real, como en tu ejemplo.

Supongamos que $X$ es una variable aleatoria con función de distribución $F$ . Entonces, $Y = F(X)$ tiene una distribución uniforme en $(0,1)$ . La prueba es sencilla. Para $y \in (0,1)$ , $$ \renewcommand{\Pr}{\mathbb{P}} \Pr(Y \leq y) = \Pr( F(X) \leq y) = \Pr(X \leq F^{-1}(y)) = F( F^{-1}(y) ) = y \> , $$ donde la inversa $F^{-1}$ existe por la hipótesis de que $F$ es estrictamente creciente en $(a,b)$ .

Por lo tanto, $Y$ se distribuye uniformemente en $(0,1)$ y, en consecuencia, $\newcommand{\e}{\mathbb{E}}\e Y = 1/2$ .

Tenga en cuenta que para su caso particular, usted comienza con $X \sim \mathcal{N}(a, \sigma^2)$ y así $Y = \Phi((X-a)/\sigma)$ . Su problema puede ser fácilmente visto como equivalente a pedir $\e (1 - Y) = \e Y = 1/2$ .

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Método 2 : Martillo y pinzas (es decir, usar el cálculo).

Observe que su integral puede escribirse como $$ \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^{- (x-a)/\sigma} \varphi(y) \frac{1}{\sigma} \varphi((x-a)/\sigma) \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \,\rd y \, \rd x = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^{\sigma y + a} \varphi(y) \frac{1}{\sigma} \varphi((x-a)/\sigma) \,\rd x \, \rd y \> . $$

Ahora, cambie las variables utilizando $u = (x-a)/\sigma$ que da la integral $$ \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^y \varphi(u) \varphi(y) \, \rd u \,\rd y \>. $$

Intercambiando el orden de las integrales iteradas, obtenemos $$ \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^y \varphi(u) \varphi(y) \, \rd u \,\rd y = \int_{-\infty}^\infty \int_u^\infty \varphi(u) \varphi(y) \, \rd y \,\rd u \>. $$

Pero, como $\varphi$ es una función de densidad de probabilidad $$ \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^y \varphi(u) \varphi(y) \, \rd u \,\rd y + \int_{-\infty}^\infty \int_y^\infty \varphi(u) \varphi(y) \, \rd u \,\rd y = 1 \>, $$ y así, por simetría, la integral debe ser $1/2$ .

(Todos los intercambios de orden de integración son válidos por el teorema de Fubini).

Answer 2

Cardenal ya publicó una solución, pero incluiré la mía como alternativa.

Al estar más acostumbrados a la función de error $\mathrm{erf}$ que con $\Phi$ Utilizaré las fórmulas

$$\phi(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{x^2}{2}\right)$$

$$\Phi(x)=\frac12\left(1+\mathrm{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right)$$

y considerar la integral

$$\frac1{2\sigma\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}\right)\left(1-\mathrm{erf}\left(\frac{x-a}{\sqrt{2}\sigma}\right)\right) \mathrm dx$$

Dejar $u=\frac{x-a}{\sqrt{2}\sigma}$ , $\mathrm du=\frac{\mathrm dx}{{\sqrt{2}\sigma}}$ la integral se convierte en

$$\frac1{2\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-u^2\right)\left(1-\mathrm{erf}\left(u\right)\right) \mathrm du$$

y luego utilizamos el hecho de que

$$\int_{-\infty}^{\infty}f(u)\mathrm du=\frac12\int_{-\infty}^{\infty}(f(u)+f(-u)\mathrm du$$

y que $\mathrm{erf}$ es una función impar ( $\mathrm{erf}(-x)=-\mathrm{erf}(x)$ ) para llegar a la integral

$$\frac1{2\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-u^2\right)\mathrm du$$

cuya evaluación debería conocer...

Answer 3

Esto se desprende de un cambio básico de variables, para lo cual basta con saber que $\Phi'=\phi$ y cuáles son los límites de $\Phi$ en $\pm\infty$ son, pero ciertamente no la forma precisa de $\Phi$ .

A saber, considere $z=\displaystyle\Phi\left(\frac{x-a}{\sigma}\right)$ entonces $\mathrm{d}z=\displaystyle\phi\left(\frac{x-a}{\sigma}\right)\frac{\mathrm{d}x}{\sigma}=\displaystyle\phi\left(\frac{a-x}{\sigma}\right)\frac{\mathrm{d}x}{\sigma}$ porque $\Phi'=\phi$ (primera igualdad) y porque $\phi$ es par (segunda igualdad).

Los límites de la integral en $z$ son $\Phi(-\infty)=0$ para $x=-\infty$ y $\Phi(+\infty)=1$ para $x=+\infty$ por lo que la integral es $\displaystyle\int_0^1z\mathrm{d}z=\left[\frac{z^2}2\right]_0^1=\frac12$ .