Métrica$p := p(x,y)= \min(|x-y|, 1- |x-y|)$$x,y \in [0,1)^2$. Probar que el espacio métrico es compacto.

Question

¡Ayuda! Sé que $X$ es compacto si cada secuencia en $X$ tiene un subsequence convergente a un punto en $X$. También tenemos que $X$ es un subconjunto infinito acotado en los números verdaderos.

¿Creo que es un corto de la prueba, podría alguien ayudarme por favor? ¡Gracias!

Answer 1

Que $X=[0,1)$ con la métrica dada y que $Y=[0,1]$ con la métrica usual.

Si $(xn)$ es una secuencia x, entonces tiene un subsequence $x{n_k}$ que converge a $a \in Y$ ya que es compacto.

1) si converge la $a\ne1$, entonces el $x_{n_k}$ $a$ en X desde

$\;\;\;|x_{n_k}-a|

2) si $a=1$, entonces el $x_{n_k}$ converge a 0 en X desde

$\;\;\;|x_{n_k}-1|

Por lo tanto $(x_n)$ tiene un subsequence convergente en X, por lo que X es compacto.