Una difícil: demostrar que no es diferenciable en ningún punto de R

Question

He aquí la cuestión:

Defina $\phi: \ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ por $$ \phi(x) = \begin{cases}x & 0\leq x\leq\frac{1}{2}\\ 1-x & \frac{1}{2}\leq x\leq 1\end{cases}. $$

Y luego extender periódicamente a todos $\mathbb{R}$ por $\phi(x) = \phi(x+1)$ . Ahora defina $$S_m(x) = \sum\limits_{i=0}^m \left(\frac{3}{4}\right)^i \phi(4^ix)$$

Demuestre que S, la función límite de $S_m(x)$ no es diferenciable en ningún punto de $\mathbb{R}$ . Se permite definir secuencias de forma implícita, como "let $a_n$ sea el mayor múltiplo de $4^{-n}$ que sea inferior o igual a $\pi$ ."

Mis pensamientos: No sé por dónde empezar. Creo que podemos elegir dos secuencias $a_n$ y $b_n$ donde $a_n$ es monótona creciente y $b_n$ es monótona decreciente y ambas convergen a un punto arbitrario $c$ en $\mathbb{R}$ y demostrar que $\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{f(b_n) - f(a_n)}{b-a} \neq f'(c)$ . Pero no estoy seguro de cómo definir esas secuencias. O si eso sería suficiente.

Answer 1

En primer lugar, tenga en cuenta que $\forall x,y\in \mathbb{R}$ , $\left| \phi (x)-\phi (y) \right|\le \left| x-y \right|$ . A continuación, considere
\begin{align} \frac{S(x+\delta )-S(x)}{\delta }=\frac{1}{\delta }\sum\limits_{i=0}^{\infty }{{{\left( \frac{3}{4} \right)}^{i}}\left[ \phi ({{4}^{i}}x+{{4}^{i}}\delta )-\phi ({{4}^{i}}x) \right]}.\end{align} Elegimos $ \delta\ ={{\delta }_{n}}=\pm\frac{1}{4}\cdot{{4}^{-n}}$ y garantizar que no hay "puntos de inflexión" en el intervalo $[{{4}^{n}}x,\ {{4}^{n}}x+{{4}^{n}}{{\delta }_{n}}]$ . Y así, $\forall i>n$ , $\phi ({{4}^{i}}x+{{4}^{i}}{\delta }_{n} )-\phi ({{4}^{i}}x)=0$ . Por lo tanto,
\begin{align} & \left| \frac{S(x+{{\delta }_{n}})-S(x)}{{{\delta }_{n}}} \right|=\left| \sum\limits_{i=0}^{n}{{{\left( \frac{3}{4} \right)}^{i}}\frac{\phi ({{4}^{i}}x+{{4}^{i}}{{\delta }_{n}})-\phi ({{4}^{i}})}{{{\delta }_{n}}}} \right| \\ & \ge {{3}^{n}}-\sum\limits_{i=0}^{n-1}{{{3}^{i}}}=\frac{{{3}^{n}}+1}{2} .\end{align} Ahora, podemos obtener una contradicción.