Demuestre que los módulos de factores son isomorfos.

Question

Estoy tratando de demostrar (a partir de un post anterior) que si $A=k[x,y,z]$ $I=(x,y)(x,z)$ $$\dfrac{(x,y)/I}{(x,yz)/I} \cong\dfrac{A}{(x,z)}.$$

Hice esto por la definición de la homomorphism $\phi: A \to ((x,y)/I)/((x,yz)/I)$ $f(x,y,z) \mapsto \dfrac {f(x,y,0)+ I}{(x,yz)/I}$ con la propiedad adicional de que $\phi$ mata todas las constantes en $f$ (no sólo todos los $z$). A continuación, ya que es surjective y su núcleo es igual a $(x,z)$ estoy hecho...¿esto parece correcto?

Segundo, estoy tratando de probar que $(x,yz)/I \cong A/(x,y,z)$. ¿Cómo puedo hacer esto?

Se me olvidó mencionar que consideramos la $A$-módulo de $M=A/I$, y que queremos demostrar que submódulos son isomorfos.

Answer 1

$\dfrac{(x,y)/I}{(x,yz)/I} \simeq\dfrac{(x,y)}{(x,yz)}=\dfrac{(x,y)}{(x,y)\cap (x,z)}\simeq\dfrac{(x,y)+(x,z)}{(x,z)}=\dfrac{(x,y,z)}{(x,z)}=\dfrac{(x,z)+(y)}{(x,z)}\simeq$$\dfrac{(y)}{(x,z)\cap (y)}=\dfrac{(y)}{(xy,zy)}\simeq\dfrac{A}{(x,z)}$.

$\dfrac{(x,yz)}{I}=\dfrac{(x,yz)}{(x^2,xy,xz,yz)}\simeq\dfrac{(x)}{(x^2,xy,xz)}\simeq\dfrac{A}{(x,y,z)}$.