Es el grupo fundamental de un pacto colector de finitely presentado?

Question

Deje $X$ ser conectado a un compacto liso colector. Si $X$ es sin fronteras, podemos elegir una métrica de Riemann para$X$, de modo que $\pi_1(X)$ actos geométricamente (es decir. correctamente, cocompactly, isometrías) en la universalización de la cobertura $\tilde{X}$. Porque es de saber que un grupo actuando geométricamente en un simplemente conectado geodésica del espacio es finitely presentados (ver Bridson y Haefliger del libro, Métrica espacios de no-positivos curvatura), podemos deducir que $\pi_1(X)$ es en sí mismo finitely presentado.

¿Qué sucede cuando $X$ tiene un límite?

Answer 1

Diferenciable colectores siempre puede ser dada la estructura de PL colectores, que puede ser trianguladas en simplicial complejos. Por la reducción de un árbol de expansión de el 1-esqueleto de este simplicial complejo, podemos obtener un CW complejo de $X$ con un solo $0$-célula. Este complejo no es más un colector, pero tiene el mismo grupo fundamental como el original del colector, ya que quotienting a cabo por un contráctiles subespacio es un homotopy de equivalencia.

Si el colector es compacto, tiene una simplicial de descomposición con un número finito de celdas. Esto conlleva a $X$. Pero el grupo fundamental de una $CW$ complejo con una sola $0$-cell tiene una presentación con un generador para cada una de las $1$-célula y una relación para cada una de las $2$-célula. Por lo tanto $X$, y por lo tanto el colector original, tiene un finitely presentó el grupo fundamental.

Answer 2

Uno puede incluso hacer un poco mejor:

Cada topológicos compactos colector (posiblemente con límite) es homotopy-equivalente a un número finito de CW-complejos.

Que cada ANR (absoluta barrio retraer, y cada topológico colector con o sin límite ANR) es homotopy-equivalente a un CW complejo, era conocido como Borsuk conjetura. Este conjectire fue probada por el Oeste en 1974 (aquí) y, más tarde, una simple prueba fue dada por Chapman aquí.

En el caso de topológica de los colectores es también un teorema de la (ilegible) el libro de Kirby y Siebenmann que cada compacto de colector es homotopy-equivalente a un número finito de CW-complejos.