¿Cómo puedo encontrar una solución general de la siguiente ecuación, $$ f\left(\frac{1}{y}\right)=y^2 f(y). $$ Sé que $f(y) = \frac{1}{1 + y^2}$ es una solución, pero ¿hay más? Hay una técnica general que puedo leer acerca de los problemas de este tipo?
Respuestas
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Para agregar a la de Olivier comentario:
La definición de $g(y)=yf(y)$, la ecuación es $g(y)=g(1/y)$. Uno puede asegurar que esto simplemente tomando $g$ a ser una función constante, es decir, $g(y)=k$ todos los $y\neq 0$ para algunas constantes $k$. Entonces $$f(y)=\frac{g(y)}{y}=\frac{k}{y}$$ for all $y\neq 0$. Esto satisface la ecuación.
Otra solución es $f(y)=\frac{k}{1+y+y^2}$ cualquier $k$.
Somnium
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Deje $g(x)$ ser cualquier función. A continuación, $f(x)=\frac{1}{x}g(\ln|x|)$ y satisface la ecuación dada.
Prueba: $$f\left(\frac{1}{y}\right)=y^2f(y),\quad y\not=0$$ $$\frac{1}{1/y}g\left(\ln\left|\frac{1}{y}\right|\right)=y^2\frac{1}{y}g(\ln|y|)$$ $$yg(-\ln|y|)=yg(\ln|y|)$$ $$g(-\ln|y|)=g(\ln|y|),\quad \ln|y|=z$$ $$g(-z)=g(z)$$ La última ecuación es verdadera, debido a que $g(x)$ es incluso.
G Cab
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Una familia de soluciones a$g(y)=g(1/y)$, entonces podría ser hecha por cualquier función racional $P(y)/y^n$, donde $P(y)$ es un polinomio que tiene ceros en $\left\{ {z_1 ,\, \ldots ,\,z_n \,} \right\} \cup \left\{ {1/z_1 ,\, \ldots ,\,1/z_n \,} \right\}\quad \;\left| {\;1 \leqslant z_k } \right.$ .
