$\int_{-1}^1 e^{-x^{4}}\cdot(1+\ln(x+\sqrt{x^2+1})+5x^3-4x^4)dx$ ¿Es posible evaluar esta integral

Question

$$\int_{-1}^1 e^{-x^{4}}\cdot(1+\ln(x+\sqrt{x^2+1})+5x^3-4x^4)dx$$

Tengo esta pregunta en mi examen de matemáticas de hoy, la solución no se da todavía, pero ¿es posible evaular esta integral

Answer 1

Puede descuidar el $\ln{}$ y el $x^3$ ya que son Impares sobre un intervalo simétrico. Así, tenemos

$$2 \int_0^1 dx \, e^{-x^4} (1-4 x^4) $$

Integrar por partes para obtener

$$4 \int_0^1 dx \, x^4 e^{-x^4} = - \int_0^1 d(e^{- x^4}) x = [x e^{-x^4}]_1^0 + \int_0^1 dx \, e^{-x^4}$$

Por lo tanto, la integral es

$$2 \int_0^1 dx \, e^{-x^4} - \frac{2}{e} - 2 \int_0^1 dx \, e^{-x^4} = \frac{2}{e} $$

Answer 2

Observe que $x\mapsto\ln (x+\sqrt{x^2+1})$ es una función impar ya que \begin{align} \ln [(-x)+\sqrt{(-x)^2+1}]&=\ln\left[\frac{\sqrt{x^2+1}-x}{1}\cdot\frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}+x}\right]\\ &=\ln\left[\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}\right]\\ &=-\ln (x+\sqrt{x^2+1}) \end{align} También $x\mapsto x^3$ es impar, entonces tenemos \begin{align} \int_{-1}^1 e^{-x^{4}}\cdot(\ln(x+\sqrt{x^2+1})+5x^3)dx&=0 \end{align} Como el integrando es una función impar. Entonces la integral se convierte en \begin{align} \int_{-1}^1 e^{-x^{4}}\cdot(1-4x^4)dx&=\int_{-1}^1e^{-x^4}dx-\int_{-1}^14x^4e^{-x^4}dx\\ &=\int_{-1}^1e^{-x^4}dx+\int_{-1}^1x (-4x^3e^{-x^4})dx\\ &=\int_{-1}^1e^{-x^4}dx+\left.xe^{-x^4}\right|_{-1}^1-\int_{-1}^1e^{-x^4}dx\\ &=e^{-1}-(-1)e^{-1}\\ &=\frac{2}{e} \end{align} Cuando se ha utilizado la integración por partes.