Hacer todos los campos internos de los valores absolutos surgir como ordenó campos o como $\mathbb{C}$ a partir de ellos?

Question

(Ahora he pedido también esta en mathoverflow.)


Deje $\langle F,\hspace{-0.04 in}+,\hspace{-0.03 in}\cdot \rangle$ ser un campo, vamos a $E$ ser un no-cero estricto sub-anillo de $F$, vamos a $\leq$ ser
un orden total en $E$ que hace $\langle E,\hspace{-0.04 in}+,\hspace{-0.03 in}\cdot,\hspace{-0.03 in}\leq \rangle$ en un anillo de pedida, y vamos a
$|\hspace{-0.05 in}\cdot \hspace{-0.05 in}| : F\to E$ ser tal que para todos los elementos de la $x$$E$, para todos los elementos de la $y$$z$$F\hspace{-0.02 in}$,

$0\leq x \; \implies \; |x| = x$
y
$0\leq |z| \;\;\;\;$ $\;\;\;\; |\hspace{.02 in}y\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.04 in}z| \; = \; |y|\cdot |z| \;\;\;\;$ $\;\;\;\; |\hspace{.02 in}y\hspace{-0.03 in}+\hspace{-0.03 in}z| \; \leq \; |y|+|z|$

.

De lo anterior se sigue que existe un elemento $i$ $F$ tal que

$i^{\hspace{.03 in}2} = -1$
y
para todos los elementos de la $z$$F$, existen elementos $a$ $b$ $E$
tal que $\;\;\;\;\;\;\; z \; = \; a\hspace{-0.03 in}+\hspace{-0.03 in}(b\hspace{-0.05 in}\cdot \hspace{-0.05 in}i\hspace{.02 in}) \;\;\;$ $\;\;\; |z|^{\hspace{.02 in}2} \; = \; a^{\hspace{.02 in}2} + b^{\hspace{.02 in}2}$

?

Uno puede comprobar que la implicación y la multiplicativity
la fuerza de $E$ a ser un sub$field$ $F$ y la fuerza de $|\hspace{-0.05 in}\cdot \hspace{-0.05 in}|$ a satisfacer
para todos los no-cero elementos $y$ de $F$, $\;\;\; |\hspace{.02 in}y| \neq 0 \;$ y $\; \left|\hspace{.03 in}y^{-1}\right| = |\hspace{.02 in}y|^{-1} \;\;\;$.

En consecuencia, una condición necesaria para $i$ a satisfacer las condiciones de mi pregunta
es que $\{\hspace{-0.03 in}1,\hspace{-0.03 in}i\}$ ser una base para $F$ como un espacio vectorial sobre $E$.

Ahora veo cómo probar que dejar a $F$ ser un subcampo de la $\mathbb{C}$ y dejando $|\hspace{-0.05 in}\cdot \hspace{-0.05 in}|$
de acuerdo con la costumbre de valor absoluto en $\mathbb{C}$ no puede dar un contraejemplo.

Lema: Para todo tipo de estructuras, todos los elementos reales de $F$$E$.

Prueba: Corrección de dicha estructura y deje $z$ ser cualquier elemento real de $F$. $|z| = \pm z$ y $|z|\in E$ ,
de modo que al menos uno de $\{z\hspace{.02 in},\hspace{-0.04 in}-z\}$$E$. Desde $E$ es un sub-anillo, que significa $z\in E$ .

Resultado: Tales estructuras no pueden ser contraejemplos.


Prueba:

Deje $z$ cualquier elemento de $F$ que no se encuentra en $E$. Por el contrapositivo de la lema, $|z|\not\in \mathbb{R}$ .
En otras palabras, $\operatorname{Im}(z) \neq 0$ , por lo que, en particular,$z\neq 0$ .
$|z|^2 \; = \; \overline{z} \cdot z \qquad \qquad \overline{z} \; = \; |z|\hspace{-0.03 in}\cdot \hspace{-0.03 in}|z|\hspace{.04 in}/\hspace{.04 in}z \; \in \; F \qquad \qquad 2\cdot \operatorname{Im}(z) \cdot i \; = \; \overline{z}-z \; \in \; F$
$\operatorname{Im}(z) \cdot i \: = \: 2\hspace{-0.03 in}\cdot \hspace{-0.03 in}\operatorname{Im}(z)\hspace{-0.03 in}\cdot \hspace{-0.03 in}i\hspace{.04 in}/\hspace{.04 in}2 \: \in \: F \quad \quad \quad i \: = \: \operatorname{Im}(z)\hspace{-0.03 in}\cdot \hspace{-0.03 in}i\hspace{.04 in}/\operatorname{Im}(z) \: = \: \operatorname{Im}(z)\hspace{-0.03 in}\cdot \hspace{-0.03 in}i\hspace{.06 in}/\hspace{.04 in}|\hspace{-0.04 in}\operatorname{Im}(z)\hspace{-0.03 in}\cdot \hspace{-0.03 in}i| \: \in \: F$
$\operatorname{Im}(z) \; = \; \operatorname{Im}(z)\hspace{-0.03 in}\cdot \hspace{-0.03 in}i\hspace{.04 in}/\hspace{.04 in}i \; \in \; F \qquad \qquad \operatorname{Re}(z) \; = \; z-(\operatorname{Im}(z)\hspace{-0.03 in}\cdot \hspace{-0.03 in}i) \; \in \; F$
Por el lema, $\operatorname{Re}(z)$ $\operatorname{Im}(z)$ están en $E$.

Answer 1

$\DeclareMathOperator{\id}{id}$ Estoy editando mi mensaje de nuevo para traer a ustedes si no es una respuesta, un par de ideas.

Lo que yo estaba tratando de encontrar como un contra ejemplo fue ordenada campo $F$ equipada con su valor absoluto $| \ |_F$, una adecuada subcampo $E$ y un morfismos $\varphi: F_{>0} \rightarrow E_{>0}$ fijación $E_{>0}$ (a continuación se definen $\varphi(0) := 0$$\forall x \in F_{>0}, \varphi(-x):= -\varphi(x)$) que satisface $\forall x,y \in F^{\times}, |\varphi(x+y)|_F \leq |\varphi(x)|_F + |\varphi(y)|_F$. La razón pensé que esto probablemente existido es que si $E^{\times},F^{\times}$ abelian grupos sin torsión, hay un montón de morfismos $F_{>0} \rightarrow E_{>0}$ definido por la elección de un racionalmente independiente de la base* de $E_{>0}$ y completar en una manera racional independiente de la base de $F_{>0}$, luego de tomar las proyecciones o de otro tipo endomorphisms. Sin embargo, esto no asegura la condición de $\forall x,y \in F^{\times}, |\varphi(x+y)|_F \leq |\varphi(x)|_F + |\varphi(y)|_F$, e incluso sabemos que esta condición nunca podrá en algunos casos, por ejemplo si $E$ es denso en $F$, porque obliga a $\varphi$ ser continua con respecto a la orden de la topología, y por lo $\varphi$ debe $\id_F$.

Así que traté de findind ejemplos concretos en lugar de elección basado en unos y no pude. Sería interesante saber si este tipo de método puede funcionar o no.

*es como una base de más de $\mathbb{Q}$ (cada elemento es una única combinación lineal en base a esto con coeficientes en $\mathbb{Q})$), excepto que no todos lineal $\mathbb{Q}$combinación de la necesidad de tener un significado en el grupo debido a que no todos los elementos tienen que tener un $n$-ésima raíz para cada $n$. Existe (y puede ser completado como una base regular puede) para cualquier grupo abelian sin torsión, asumiendo CA.

Answer 2

Tome $F$ a ser el campo formal de la serie de Laurent de $t$ con coeficientes reales. Para cada serie,$f(t)$, vamos a $\lvert f(t) \rvert$ ser el valor absoluto del coeficiente de su término con la menor potencia de $t$ (a excepción de la serie de $f(t) = 0$ - deje que su valor absoluto es 0).