El Nullstellensatz para $\mathbb{C}[x_1, \ldots, x_n]$ da un diccionario entre ideales radicales y variedades, lo que hace evidente la siguiente afirmación: un ideal radical en $\mathbb{C}[x_1, \ldots, x_n]$ es la intersección de los ideales máximos que lo contienen. ¿Existe una forma sencilla y puramente algebraica de ver esto?
Respuestas
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Cualquier ideal radical (en cualquier anillo) es una intersección de ideales primos. Así que la pregunta es por qué un ideal primo es una intersección de ideales máximos. Estos anillos se llaman Anillos Jacobson . Un campo es claramente Jacobson. Es un hecho general (una forma más general del Nullstellensatz) que un anillo finitamente generado sobre un anillo de Jacobson es de Jacobson. (Esto está en Eisenbud cap. 4.) Así que cualquier anillo de coordenadas afín es Jacobson.
David HAust
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Existe una elegante aproximación abstracta a la Hilbert Nullstellensatz descubierta hacia 1950 por Goldman, Krull y Zariski. Para más sobre esto busque los términos: Dominio G, anillo de Hilbert, anillo de Jacobson, por ejemplo, véase el libro de texto de Kaplansky Anillos conmutativos . Ver también Página ZGK de D.J. Bernstein que tiene algunos enlaces en línea, incluyendo la exposición de una prueba "elemental" de R. Munshi (1999).
