Por qué puede ' t combinar potencias complejas

Question

Me encontré con esta 'paradoja' - $$1=e^{2\pi i}\Rightarrow 1=(e^{2\pi i})^{2\pi i}=e^{2\pi i \cdot 2\pi i}=e^{-4\pi^2}$ $

Me di cuenta de que la falacia radica en el hecho que en general $(x^y)^z\ne x^{yz}$. ¿Por qué no trabaja con números complejos a pesar de que es válido en el caso real? ¿Se lo relaciona con el hecho de que el logaritmo de número complejo no es único?

Answer 1

Incluso sin números complejos: $-1=(-1)^{2\cdot\frac12}\ne((-1)^2)^{\frac12}=1^{\frac12}=1$.

Pero tienes razón, que el problema es que elevar a una potencia (no entero) es esencialmente una función multivalor .

Answer 2

Esto está relacionado con una nota por Euler, tal vez que él fue el primero en darse cuenta de que $i^i$ es real. En realidad, $$i^i = (e^{i\pi/2})^i = e^{-\pi/2}$ $ por otro lado $$i^i = (e^{i(\pi/2+2\pi n})^i = e^{-\pi/2 -2\pi n},\ n\in\mathbb{Z}.$ $ así que tal vez sea mejor decir que $i^i$ es un subconjunto de la $\mathbb{R}$ y cierta igualdad firma deben ser entendidos como congruencias.