¿Por qué son los derivados de estas dos ecuaciones diferentes?

Question

Estoy tratando implícitamente diferenciar los siguientes: $\frac {x}{x-y}\ =\ y^2-1$

Originalmente se multiplica toda la ecuación por $(x - y)$ y el resultado de forma implícita la diferenciación de la ecuación resultante ( $\ x=xy^2-x-y^3+y$ )$\frac {dy}{dx}\ = \frac {2-y^2}{2xy-3y^2+1}$, pero luego, cuando he intentado de nuevo y diferenciado de la expresión original, $\frac {x}{x-y}\ =\ y^2-1$, (sin manipulación) que terminó con la respuesta correcta de $\frac {-y}{2y(x-y)^2-x}$.

Mi pregunta es: ¿por qué simplemente cambiando la forma de la ecuación que estamos tratando implícitamente se diferencian (como he hecho anteriormente) cambiar lo que se puede conseguir como $\frac {dy}{dx}$ ?

Answer 1

Contrario a lo que se dijo en los comentarios, se pierde ninguna información de su manipulación. En la ecuación original, sabían $x\ne y$. No se pierde nada por multiplicar por $x-y$. Correctamente diferenciadas ambas expresiones, por lo tanto tenemos:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{2-y^2}{2xy-3y^2+1}, \text{ y} \\ \frac{dy}{dx}=\frac {y}{2y(x-y)^2-x}$$

Nos gustaría conciliar estas dos expresiones. Para ello, utilizamos la ecuación empezamos con: $\frac{x}{x-y}=y^2-1$. Hay muchas maneras de ver que las dos expresiones son equivalentes (en la curva definida por $\frac{x}{x-y}=y^2-1$). Una forma es tener en cuenta primero que:

$$\begin{split} \frac{dy}{dx}=\frac{-y}{2y(x-y)^2-x}=\frac{dy}{dx}&=\frac{-y}{(x-y)\left(2y(x-y)-\frac{x}{x-y}\right)} \\ &=\frac{\frac{-y}{x-y}}{2y(x-y)-\frac{x}{x-y}} \\ &=\frac{\frac{-y}{x-y}}{2xy-2y^2-\frac{x}{x-y}} \\ &=\frac{\frac{-y}{x-y}}{2xy-2y^2-(y^2-1)}, \text{ since }\frac{x}{x-y}=y^2-1 \\ &= \frac{\frac{-y}{x-y}}{2xy-3y^2+1} \end{split}$$

Como se puede ver estamos casi en la segunda expresión de ahora. La parte final ya se ha hecho en los comentarios. Voy a repetir aquí por completo. Tomando la otra expresión tenemos:

$$\begin{split} \frac{2-y^2}{2xy-3y^2+1} &=\frac{2-\frac{2x-y}{x-y}}{2xy-3y^2+1}, \text{ since }y^2=1+\frac{x}{x-y} \\ &=\frac{\frac{2x-2y-2x+y}{x-y}}{2xy-3y^2+1} \\ &=\frac{\frac{-y}{x-y}}{2xy-3y^2+1}\end{split}$$

que es lo que teníamos anteriormente. Así que ambas expresiones son equivalentes. En general se puede manipular la ecuación antes de que implícitamente se diferencian. Usted necesita tener cuidado si se divide por algo que puede ser $0$. Multiplicando por $0$ está bien, siempre.