Yo estaba jugando y el pensamiento de la siguiente pregunta:
Si se les da $a \not=1 \in \mathbb{R}^{+}$, demostrar que existen infinitos números enteros $n$, de tal manera que $\sqrt[n]a$ es irracional.
He probado un caso muy simple:
Si $1 < m \in\mathbb{N}$, entonces hay infinitamente muchos enteros positivos $n$ tal que $\sqrt[n]m$ es irracional. Para mostrar esto, sostengo señalando el polinomio, $$ p(x) = x^n -m$$ is irreducible in $\mathbb{Z}$[x] for $n > m$, hence it is irreducible in $\mathbb{Q}[x]$ as it is also primitive. So there are no rational solutions to $x^n = m$. And $\sqrt[n]de m$ es irracional.
¿Cómo puedo probar el caso general? Como que se parece bastante intuitivo.
