Cubriendo induce integral homomorphism

Question

Deje $n \in \mathbb{Z}_+$ y definen $f:S^1 \rightarrow S^1$$f(z)=z^n$. Deje $A$ ser un anillo de funciones continuas de $S^1$ $\mathbb{R}.$Deje $\psi:A \rightarrow A$ $\psi(\phi)=\phi \circ f.$ Demostrar que $\psi$ es parte integral de la extensión, es decir, $A$ integral $\psi(A)$.

Yo creo que vamos a utilizar de compacidad de $S^1$ y $f(z)=z^n$, pero tengo problemas para hacerlo riguroso...

Answer 1

Sugerencia: en Primer lugar demostrar que para cualquier $z\in S^1$ y cualquier $a\in A$, usted puede encontrar $b\in \psi(A)$ tal que $a(w)-b(w)=0$ todos los $w$ en un barrio de $z$. A continuación, piense acerca de cómo se pueden combinar estos para encontrar una ecuación integral $a$ satisface en todos los de $S^1$.

Una prueba plena se oculta a continuación:

La imagen de $\psi(A)$ se compone de las funciones que son (multiplicatively) $e^{2\pi i/n}$-periódico. Dado cualquier intervalo de $I$ $S^1$ de la longitud de menos de $e^{2\pi i/n}$, se puede extender una función continua en a $I$ $e^{2\pi i/n}$- función periódica en todos los de $S^1$. En particular, esto significa que para cualquier $a\in A$, usted puede encontrar $b\in \psi(A)$ tal que $a(w)=b(w)$ todos los $w\in I$. Ahora podemos cubrir la $S^1$ por un número finito de intervalos que se $I_1,\dots,I_m$ y encontrar $b_1,\dots,b_m$ tal que $a_k(w)=b_k(w)$ si $w\in I_k$. A continuación, $(a-b_1)(a-b_2)\dots(a-b_m)$ se desvanece en todos los de $S^1$, y es un monic polinomio en $a$ con coeficientes en $\psi(A)$.